Leetcode 483.最小好进制

最小好进制

对于给定的整数 n, 如果n的k（k>=2）进制数的所有数位全为1，则称 k（k>=2）是 n 的一个好进制。

以字符串的形式给出 n, 以字符串的形式返回 n 的最小好进制。

   

示例 1：

输入："13"

输出："3"

解释：13 的 3 进制是 111。

示例 2：

输入："4681"

输出："8"

解释：4681 的 8 进制是 11111。

示例 3：

输入："1000000000000000000"

输出："999999999999999999"

解释：1000000000000000000 的 999999999999999999 进制是 11。

   

提示：

1. n的取值范围是 [3, 10^18]。
2. 输入总是有效且没有前导 0。

 

本题是寻找一个数最小的good base。其定义是对于一个数y，其x进制表示为全1，则称x是y的good base。应该比较好理解，其实就是将y写成1+x+x^2+...+x^(n-1)，就是一个等比数列求和，于是我们可以将其转化为y = (x^n - 1)/(x - 1)，其中x>=2, 3<y<10^18,为了寻找最小的x，我们可以先来确定一下n的取值范围，很明显x越小n越大，所以当x=2时，n最大为log2(y+1)。从第三个例子可以看出来，当x=y-1时，n最小为2。所以有了n的取值范围我们就可以遍历所有可能的n，然后每次循环中y和n都是确定值，在对x使用二叉搜索确定其值即可。

 

另外一个需要注意的问题就是，因为本题中的数都比较大，所以要注意溢出问题，之前也做过一到这种题，可以使用java内置的BigInteger类进行处理。代码如下所示：

 

import java.math.BigInteger;

class Solution {
    public static String smallestGoodBase(String n) {
        //现将字符串解析成long型数据
        long s = Long.parseLong(n);
        //对所有可能的指数n进行遍历
        for (int max_e = (int) (Math.log(s) / Math.log(2)) + 1; max_e >= 2; max_e--) {
            long low = 2, high = s, mid;
            //进行二叉搜索，寻找最小的good base。
            while (low <= high) {
                mid = low + (high - low) / 2;
                //一开始没有使用BigInteger，会报错
                BigInteger left = BigInteger.valueOf(mid);
                left = left.pow(max_e).subtract(BigInteger.ONE);
                BigInteger right = BigInteger.valueOf(s).multiply(BigInteger.valueOf(mid).subtract(BigInteger.ONE));
                int cmr = left.compareTo(right);
                if (cmr == 0)
                    return String.valueOf(mid);
                else if (cmr > 0)
                    high = mid - 1;
                else
                    low = mid + 1;
            }
        }
        return String.valueOf(s - 1);
    }
}