BZOJ-2705: [SDOI2012]Longge的问题 (欧拉函数)

2705: [SDOI2012]Longge的问题

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Description

Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。

Input

一个整数，为N。

Output

一个整数，为所求的答案。

Sample Input

6

Sample Output

15

HINT

 

【数据范围】

对于60%的数据，0<N<=2^16。

对于100%的数据，0<N<=2^32。

 

 

Source

round1 day1

这题是孬孬昨天跟我装逼时考我的一道题，当时随便口胡了一下，然后孬孬说要用莫比乌斯反演？？？【黑人问号.jpg】

今天偶遇了原题，迫不及待的打开题解，想看看莫比乌斯反演是什么玩意，结果点开一看……mdzz这不就是我昨天口胡的那个方法嘛……

然后突然惊悚，貌似今天再想一次的话不一定还能想到正解？（laj还需多加训练！）

我们逆着想一下，求∑gcd(i, N)(1<=i <=N)，思考一个数xi可能为哪些数与n的gcd？  不难想到因为是gcd所以这些数/xi后与n/xi是互质的，这就转化为n/xi范围内有多少个数与n/xi互质的问题，这是欧拉函数，∴就相当于求∑xi*phi(n/xi) 不能把phi表全打出来，对于每个n/xi 单独求一遍phi即可qwq

#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
typedef long long LL;
LL n,ans;
LL eular(LL x){
    LL i,an=x;
    for (i=2;i*i<=x;i++)
        if (x%i==0){
            an=an/i*(i-1);
            while (x%i==0) x/=i;
        }
    if (x!=1) an=an/x*(x-1);
    return an;
}
int main(){
    freopen ("question.in","r",stdin);freopen ("question.out","w",stdout);
    int i,j;
    scanf("%lld",&n);
    for (i=1;i*i<n;i++)
        if (n%i==0)
            ans+=i*eular(n/i)+n/i*eular(i);
    if (i*i==n) ans+=i*eular(i);
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}