暑假集训Day1 L (Lucas+容斥原理)

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这题题意就是一个二维图，按象棋中马的走位从左上走到右下，中间有一些点不能到达，问有多少条路径。

可以很明显的想到是一个容斥的问题，但是如此众多的点，放在一起容斥属实非常复杂。在这种情况下，一般都要想到由简入繁：想到一个个的把点加进去看。

现将点都排一遍序，从左上到右下，开一个数组f[i]记录到当前点的路径上，不经过前面任何一个不能到的点的路径条数。

那么对于一个新的点x，结果 f[x] 就是从左上角到 x 的路径数减去所有 x 前面的点 j 到 x 的路径条数乘上 f[j]。因为 f 中存放的路径是干净的，不经过任何先前的不能到的点，所以这个不会减去重复的路径。这种容斥的思想值得学习。

另一个值得学习的就是遇到很大的组合数时，要想到Lucas定理，这个可以快速的计算longlong范围的组合数。所以要顺便学一下线性求阶乘逆元的方法。要学习的东西有很多！！

 

#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAX=115;
const int MOD=110119;
LL t;
LL n,m,r,f[MAX];
LL fac[MOD],inv[MOD],facinv[MOD];
struct Node{
    LL x,y;
    bool operator < (const Node &tt) const{
        if (x!=tt.x) return x<tt.x;
        return y<tt.y;
    }
}a[MAX];
void init(){
    LL i,j;
    memset(fac,0,sizeof(fac));
    memset(inv,0,sizeof(inv));
    memset(facinv,0,sizeof(facinv));
    fac[0]=fac[1]=inv[1]=facinv[0]=facinv[1]=1;
    for (i=2;i<MOD;i++){
        fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;
        inv[i]=inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
        facinv[i]=facinv[i-1]*inv[i]%MOD;
    }
}
LL C(LL n, LL m){
    if(n<0 || m<0 || m>n) return 0;
    return fac[n] * facinv[m] % MOD * facinv[n - m] % MOD;
}

LL Lucas(LL n, LL m){
    if(n<0 || m<0 || m>n) return 0;
    LL res = 1;
    while(n || m) {
        res = res * C(n % MOD, m % MOD) % MOD;
        n/=MOD;
        m/=MOD;
    }
    return res;
}
int main(){
//    freopen ("l.in","r",stdin);
//    freopen ("l.out","w",stdout);
    LL i,j,zt1,zt2,step;
    scanf("%lld",&t);
    init();
    while (t--){
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&r);
        for (i=1;i<=r;i++)
            scanf("%lld%lld",&a[i].x,&a[i].y);
        a[r+1].x=a[r+1].y=1;
        a[r+2].x=n,a[r+2].y=m;
        sort(a+1,a+r+3);
        memset(f,0,sizeof(f));
        f[1]=-1+MOD;
        for (i=2;i<=r+2;i++){
            for (j=1;j<i;j++){
                if (a[i].x < a[j].x || a[i].y < a[j].y || (a[i].x-a[j].x+a[i].y-a[j].y)%3 != 0 ) continue;
                step=(a[i].x-a[j].x+a[i].y-a[j].y)/3;
                zt1=a[i].x-a[j].x-step;
                zt2=a[i].y-a[j].y-step;
                f[i]=(f[i]+MOD-f[j]*Lucas(zt1+zt2,zt1)%MOD)%MOD;
            }
        }
        printf("%lld\n",f[r+2]);
    }
    return 0;
}