多项式学习笔记
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多项式乘法逆
给出 \(F(x)\)，求 \(G(x)\) 使得 \(F(x)G(x) \equiv 1 (\bmod x^n)\)。
首先 \(G_0(x)=\frac{1}{F_0(x)}\)，然后考虑倍增，用 \(\bmod x^{ \left \lceil \frac{n}{2} \right \rceil }\) 的答案推 \(\bmod x^n\) 的答案：
\[\begin{aligned}
& \because F(x)G'(x) \equiv 1 (\bmod x^{ \left \lceil \frac{n}{2} \right \rceil }) \\
& \because F(x)G(x) \equiv 1 (\bmod x^{ \left \lceil \frac{n}{2} \right \rceil }) \\
& \therefore G(x)-G'(x) \equiv 0 (\bmod x^{ \left \lceil \frac{n}{2} \right \rceil }) \\
& \therefore (G(x)-G'(x))^2 \equiv 0 (\bmod x^{n}) \\
& \therefore G(x)^2-2G(x)G'(x)+G'^2(x) \equiv 0 (\bmod x^{n}) \\
& \therefore G(x)-2G'(x)+F(x)G'^2(x) \equiv 0 (\bmod x^{n}) \\
& \therefore G(x) \equiv 2G'(x) - F(x)G'^2(x) (\bmod x^{n}) \\
\end{aligned}
\]
需要用到 \(O(n \log n)\) 的多项式乘法，计算一下复杂度：
\[T(n)=T(\left \lceil \frac{n}{2} \right \rceil )+O(n \log n)
\]
所以复杂度 \(T(n)=O(n \log n)\)。
