关于概率问题中的协方差和统计中的协方差的疑问

一，概率中协方差的定义：

概率中协方差是随机变量的数字特征，即在二维随机变量分布中，对二维随机变量（X,Y），若E(X)，E(Y)，E{ [ X-E(X) ] [ Y-E(Y) ] } 都存在，

则称 E{ [ X-E(X) ] [ Y-E(Y) ] } 为X与Y的协方差（或相关矩），记为Cov(X,Y)。Cov(X,Y)=E{ [ X-E(X) ] [ Y-E(Y) ] }=E(XY)-E(X)E(Y)。

说明两点：

1.这里的协方差是基于二维随机变量分布的计算，即和(X,Y)的样本值和(X,Y)的联合概率有关。

2.当X和Y是离散型随机变量时，他们分别对应的样本空间的大小不必相同，即X的样本数和Y的样本数可以不同。而且计算X和Y的全部组合。

 

二，在统计过程中，是用二阶混合中心矩来估计协方差，二阶混合中心矩统计量为：

说明两点：

1.这里协方差完全是基于样本值，就像其他统计量一样。

2.X和Y的样本空间大小相同，各个样本组成样本对，这就和原协方差在形式上有了较大出入。当然，统计的思想就是面向大量样本，用数量来表现变量的分布，同时实现概率的具体效果。

 

补充说明：

1.在统计中，X和Y就是维度相同的向量，每一维是一个样本，二阶混合中心矩（协方差）实际就是向量中心化后的向量的内积再除以n-1。二阶混合中心矩为0，说明两个向量正交，不相关。

2.而方差的统计量，即二阶中心矩（实际就是X和他的均值向量的欧氏距离平方再除以n-1）。或者说是X中心化后的向量的二阶原点矩（实际即向量与原点的欧式距离再除以n-1）