神奇的10个人10个帽子的问题

题目： 

10个人10顶帽子，每顶帽子上有1-10中的一个数字,这些数字有可能重复 ，每个人只能看到其他9个人头上帽子上的数字，看不到自己的帽子上的数字 。这时要求每人同时写出一个数字 。 
问，是否存在一个策略使得，至少有一个人写出的是自己头上帽子的数字? 
如果存在，请给出一个具体的策略;如果不存在，请给出严格的证明。

解：

假设每个人帽子上的数字为Xi,i=1,2，...,10。则Xi与Xj是相互独立的，取值完全随机。这里10个人只有1个共性，那就是10个数之和是相同的，记为S。第i个人可以看见其余9个数字，可计算出Si=S-Xi。由此可知对于第i个人而言，Si为已知数，Xi与S为未知数，且Xi+Si=S,i=1,2,...,10。即（Xi+Si）%10=S%10=a,显然a∈[0,9],只有10种取值。令第i个人取a为i-1,即至少有1人猜对a的值，假设为第k个人,则（Xk+Sk）%10=a,又Xk∈[1,10],可解出Xk=a-Sk%10,a>Sk%10时；Xk=a+10-Sk%10,a≤Sk%10时。故至少有1人可猜对帽子上的值。