自由空间损耗公式推导过程及简单用法

最近在看无线通信的基础资料，看到自由空间损耗公式一直不太了解那个常量是怎么来的，后来查了一些资料，大概计算一次，先记录下来。

下文是自由空间损耗公式推导过程：

假如空间中有一个点是信号源，它发出信号，那么这个信号传播出去后会变成一个球面。可以想象太阳发出的光，会均匀覆盖一个球面。

如果知道某一点到信号源的距离d，那么这个球面的面积可以计算：

\(Ss=4\pi d^2\)

如果波长是\(\lambda\)，则接收点的有效面积为：

\(St=\frac{\lambda^2}{4\pi}\)

传播损耗Lbs是指输出功率和接收功率的比，如果能量传播是均匀的，则功率的比近似等于面积之比：

\(Lbs=\frac{Ss}{St}=(\frac{4\pi d}{\lambda})^2\)

由于\(c=\lambda f, c=3\times10^8\) (m)

\(Lbs=\frac{Ss}{St}=(\frac{4\pi df}{3\times10^8})^2\)

如果用分贝(dB)表示，它等于功率强度之比的常用对数的10倍，同时距离d用km单位，频率用MHz：

\(Lbs(dB)=10\lg(\frac{4 \pi d f} {3\times10^8})^2\)

\(Lbs(dB)=20\lg \frac {4 \pi d f}{3\times10^8}\)

\(Lbs(dB)=20\lg\frac{4 \pi (d(km)\times10^3) (f(MHz)\times10^6)}{3\times10^8}\)

\(Lbs(dB)=20\lg\frac{4\pi d(km)f(MHz)\times10^9}{3\times10^8}\)

\(Lbs(dB)=20\lg\frac{4\pi d(km)f(MHz)\times10}{3}\)

\(Lbs(dB)=20\lg\frac{4 \pi}{3}+20\lg d(km)+20\lg f(MHz)+20\lg10\)

\(Lbs(dB)=12.45+20\lg d(km)+20\lg f(MHz)+20\)

\(Lbs(dB)=32.45+20\lg d(km)+20\lg f(MHz)\)

所以，这个32.45的常数是会根据d和f的单位变化而变化的。

举例说明：

1、如果接收位置距离信号源10公里，频率为100MHz,则可以计算损耗大小为：

$Lbs(dB)=32.45+20\lg 10(km)+20\lg 100(MHz) = 32.45 + 20 + 40 = 92.45 $

2、如果距离变成10倍，频率变成十分之一，则可以计算损耗的变化为0：

$Lbs(dB)=32.45+20\lg 10d(km)+20\lg 0.1f(MHz) = 32.45+20\lg d(km)+20\lg f(MHz) + 20 -20 $

3、距离增加1倍，功率增加6dB。

\(Lbs(dB)=32.45+20\lg 2d(km)+20\lg f(MHz) = 32.45+20\lg d(km)+20\lg f(MHz) + 20\lg2\)

\(20\lg2 = 6\)