二分图讲解

知识·匹配

给定一个二分图G，M为G边集的一个子集，若M满足任意两条边都不依附于同一个节点

极大匹配是当前已完成匹配情况下，无法再通过增加未完成匹配的边的方式来增加匹配的边数

最大匹配是指G的匹配集中匹配边数最大的匹配

完全匹配是指G中的每一个点都依附于一条匹配边的匹配，亦称完备匹配

知识·定理

1.Berge定理

给定G的一个匹配M。若一条路径的边交替出现在M和不出现在M中，则这条路径成为M-交错路径

路径的起始点和终点未被M匹配的M-交错路径叫做M-增广路径

图G的匹配M是最大匹配当且仅当G中没有M-增广路

知识·关键点

关键点是指一定在最大匹配中的点

由于二分图是左右对称的，我们只考虑找左边的点

先求一个任意最大匹配M

先给二分图定向：匹配边从右到左、非匹配边从左到右，从左侧每个未盖点dfs，给到达的点打上标记。

最终每个左侧点都没有标记的匹配点为即为关键点

因为只关心可到达性，显然每个点至多访问一次，复杂度O(n+m)