母函数的基础内容
母関数の原初
看了论文和数学书后晕乎乎的
为了理解定义,透彻地理解,这篇博文仅限于一些基础公式和小问题(开胃菜?)
零、预备知识
呐,假装知道了母函数的所有知识,看看一些不加证明的公式
普通的母函数
1、
2、令g(n)为母函数第n项的系数,由插板法可得
3、最终结论
一、例题一
我们有1g、2g、3g、4g砝码各一枚,问可称出哪几种重量?每种重量含有那些方案?
The First kiss
假设x表示砝码(物品),x的指数表示单个砝码的重量(属性)
一个1g砝码的函数:f(x)=1+x
一个2g砝码的函数:f(x)=1+x*x,以此类推
此处的1代表指数0?,也就是重量为x的砝码选取0个
组合后的函数就是:f(x) = (1+x) (1+x^2) (1+x^3) (1+x^4)
= 1 + x + x^2 + 2*x^3 + 2*x^4 + 2*x^5 + 2*x^6 + 2*x^7 + x^8 + x^9 + x^10
回归最初的定义,那么,称出质量为k的砝码,对应的x的k次项的系数就是方案数
就这样,一个递推问题转化为了和多项式相关的问题
二、例题二
from 09年国家集训队论文 毛杰明 题目2.1
出门旅游的小明要带食物,n件比较合适(n<=10^100) 。
规定如下:
最多带1 个汉堡
巧克力的块数是5 的倍数
最多带4 瓶矿泉水
薯片的包数是一个偶数
最多带3 罐牛奶
糖果的个数是4 的倍数
问你小明有多少种方式来准备这次旅行所带的食物。
Solution
这里的问题就要动真格了,用点真家伙
这里的母函数求和会大量的用到等差数列或级数的方式求和,暂且不考虑其收敛性
求和的公式或方法见我的博文http://www.cnblogs.com/keshuqi/p/6195074.html
1、汉堡对应的函数
2、牛奶对应的函数
3、巧克力的函数
4、薯片
5、矿泉水
6、牛奶嘛
7、甜的东西?糖果
利用卷积规则,此类函数的乘积为
这里用之前的公式展开
再用二项式定理展开
哎,其实用各项的系数公式一步就得到了
就是这个
若不考虑组合数的求值,单纯询问复杂度为O(1),还是很优的哦
先这样吧
明天要参加英才计划的什么东东夏令营
估计会沉默一段时间呢,等会吧
题外话:
从自己的角度来说,我也不是很清楚继续oi这条路的意义
不过
要是意义太明确了,变得太功利了的话,不就无聊了吗?
人生只有一次,浪费在为别人而活的过程中实在是不够潇洒啊
虽然不是很清楚人生的意义,同样地,如果那个意义太明确了,不就无聊了吗
人生固然没有实际意义,但继续走下去,就会发现很多有趣的事情,和更多的未知、神秘相遇,和更多的人相逢
这不美吗?
2017年的立春,我正在确立自我的十字路口上,高中生了嘛
。。。