有关二项式的知识、公式~
最近在啃数学书
进度很慢,姑且记录一点幼儿园公式吧,虽然我的latex写的很缺乏审美愉悦呢
来自《具体数学》
大部分我会给出一个手打的证明,比较著名的东西就直接贴出来
一、基本等式
1.二项系数的形式/r的k次多项式
//此处用r来记录而不使用n,目的是为了表现r可以是任意实数
//同时,我们把\binom{r}{k}看做了r的k次多项式
2.按照惯例放出二项式定理,虽然这让我的博文没有什么逻辑可言,姑且看看吧
证明:
考虑用数学归纳法。
当
,
![](https://imgsa.baidu.com/baike/s%3D35/sign=60a20bfb4610b912bbc1f0fbc2fd6255/0bd162d9f2d3572cbc6cd09c8b13632763d0c3e0.jpg)
![](https://imgsa.baidu.com/baike/s%3D359/sign=bba0ba8dfd039245a5b5e70abe95a4a8/83025aafa40f4bfb8383d214024f78f0f736181a.jpg)
假设二项展开式在
时成立。
![](https://imgsa.baidu.com/baike/s%3D41/sign=ad985c6f94cad1c8d4bbfd267e3e1176/a08b87d6277f9e2f9ade51481e30e924b999f383.jpg)
设
,则:
![](https://imgsa.baidu.com/baike/s%3D64/sign=61304071203fb80e08d162d337d12c78/dcc451da81cb39dbd6242b16d1160924aa18308d.jpg)
![](https://imgsa.baidu.com/baike/s%3D228/sign=afb836b2d462853596e0d523a8ee76f2/810a19d8bc3eb1350712fbfba71ea8d3fc1f449c.jpg)
![](https://imgsa.baidu.com/baike/s%3D251/sign=4cc05d0f9f2f07085b052d05d824b865/0b46f21fbe096b633d3211100d338744ebf8ac43.jpg)
![](https://imgsa.baidu.com/baike/s%3D260/sign=00b103410b55b31998f9857373a88286/562c11dfa9ec8a13cc5518a0f603918fa0ecc027.jpg)
![](https://imgsa.baidu.com/baike/s%3D310/sign=943b3b44960a304e5622a6fbe1c9a7c3/d50735fae6cd7b89f77575c30e2442a7d9330e50.jpg)
![](https://imgsa.baidu.com/baike/s%3D36/sign=63c5c3714b90f60300b09a413812a5ef/11385343fbf2b2117a54ca0ecb8065380cd78e7c.jpg)
![](https://imgsa.baidu.com/baike/s%3D334/sign=894006a98c1001e94a3c120c8c0f7b06/dc54564e9258d1099952e6f2d058ccbf6c814d38.jpg)
![](https://imgsa.baidu.com/baike/s%3D57/sign=0a8bcd3542a98226bcc12b208b82abf6/37d3d539b6003af3dbc89320342ac65c1038b604.jpg)
![](https://imgsa.baidu.com/baike/s%3D382/sign=09bf5b4fb90e7bec27da05e91d2fb9fa/d058ccbf6c81800a2966c64eb03533fa838b47ea.jpg)
![](https://imgsa.baidu.com/baike/s%3D63/sign=5897c9ae9d82d158bf825ab2810a02bc/1f178a82b9014a907f9d09fda8773912b21beecb.jpg)
![](https://imgsa.baidu.com/baike/s%3D308/sign=5bdb4f8ae7cd7b89ed6c3c8337254291/a8773912b31bb05177c5fc68377adab44bede089.jpg)
![](https://imgsa.baidu.com/baike/s%3D254/sign=ddb6b06348540923ae69647ba658d1dc/c9fcc3cec3fdfc03c242adf8d53f8794a4c226b3.jpg)
![](https://imgsa.baidu.com/baike/s%3D156/sign=65a94da12e2eb938e86d7ef7e36385fe/6d81800a19d8bc3e807b488a838ba61ea8d3457a.jpg)
很科学嘛
3.牛顿广义二项式定理
二项式定理定理可以推广到对任意实数次幂的展开。
![](https://imgsa.baidu.com/baike/s%3D170/sign=2185cf40afec8a13101a53e7c7029157/c8ea15ce36d3d539c0a9e46c3c87e950342ab08d.jpg)
其中
4.对称等式
![](https://imgsa.baidu.com/baike/s%3D238/sign=35a07f4b5ab5c9ea66f304e0ed38b622/00e93901213fb80e7ad7289737d12f2eb938946f.jpg)
5.吸收等式
伴随等式
根据对称性
引出等式
6.加法等式
应用吸收等式
引出等式
7.求和等式
上求和
8.上求反
9.三项修正
此类等式证明很简单,就不给出了
10.Vandermonde结合式
二项式的话差不多就这些了吧