卡特兰数
根源
看到了zhihu上的东西:有一个大问题A,规模为n,要解决这个问题,可以用分治的思想,首先固定其中某一个元素,将剩下的n-1个元素拆分成两个小问题,这两个小问题的规模分别是(0,n-1) (1,n-2) (2,n-3) ... (n-1,0),如二叉树计数,n个结点的二叉树,首先固定根节点,将剩下的n-1个结点拆分给左右子树;三角形划分问题,凸(n+2)边形可以划分为n个三角形,首先固定一条边(即一个三角形),这个三角形将这个(n+2)边形拆分成两个更小的多边形。
数列前~n~項
{1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,58786}
数列の原理
令h(0)=1,h(1)=1,Catalan数满足递推式
h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+···+h(n-2)*h(1)+h(n-1)*h(0) (n>=2)
h(n)=Σh(i)*h(n-i-1),也规定h(0)=1,i∈[0,n-1]
令类递推式
h(n)=h(n-1)*(4*n+2)/(n+2)
递推关系的解为
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n>=0)
递推关系的另类解为
h(n)=C(2n,n)-C(2n,n-1) (n>=0)