[bzoj4591][Shoi2015][超能粒子炮·改] (lucas定理+组合计数)

Description

曾经发明了脑洞治疗仪&超能粒子炮的发明家SHTSC又公开了他的新发明：超能粒子炮·改--一种可以发射威力更加

强大的粒子流的神秘装置。超能粒子炮·改相比超能粒子炮，在威力上有了本质的提升。它有三个参数n，k。它会

向编号为0到k的位置发射威力为C(n,k) mod 2333的粒子流。现在SHTSC给出了他的超能粒子炮·改的参数，让你求

其发射的粒子流的威力之和模2333。

Input

第一行一个整数t。表示数据组数。

之后t行，每行二个整数n，k。含义如题面描述。

k<=n<=10^18，t<=10^5

Output

t行每行一个整数，表示其粒子流的威力之和模2333的值。

Sample Input

1
5 5

Sample Output

32

Solution

易得，

原式=C(n/2333,0)∗C(nmod2333,0)+C(n/2333,0)∗C(nmod2333,1)+...+C(n/2333,k/2333)∗C(nmod2333,kmod2333)   mod 2333

也就是将原式中的各个mod 2333项拆分成两项再总体mod 2333

同类项合并，分两种部分考虑：

设k=k1*2333+k2 (0≤k1,k2)

1)对于k1部分

先考虑k1=0的情况，可以得出这些乘积的各个首项是C(n/2333,0)，将其提出得到C(n/2333,0)*∑C(n%2333,i)(其中i∈[0,2333])

考虑k1=1的情况，可得C(n/2333,1)*∑C(n%2333,i)(其中i∈[0,2333])

考虑k1=2的情况，可得C(n/2333,2)*∑C(n%2333,i)(其中i∈[0,2333])

···　　···　　···　　···　　···　　···

提公因式→→→∑C(n/2333,j)*∑C(n%2333,i)(其中i∈[0,2333],j∈[0,k1))

重复3遍

∑C(n/2333,j)*∑C(n%2333,i)(其中i∈[0,2333],j∈[0,k1))

∑C(n/2333,j)*∑C(n%2333,i)(其中i∈[0,2333],j∈[0,k1))

∑C(n/2333,j)*∑C(n%2333,i)(其中i∈[0,2333],j∈[0,k1))

吼，各位就等了，看看k2部分吧

2）对于k2部分

原式=C(n/2333,k1)*C(n%2333,0)+C(n/2333,k1)*C(n%2333,1)+······+C(n/2333,k1)*C(n%2333,k%2333)

=C(n/2333,k1)*(∑C(n%2333,i))(其中i∈[0,k%2333])

综上，ans=∑C(n/2333,j)*∑C(n%2333,i)(其中i∈[0,2333],j∈[0,k1))+C(n/2333,k1)*(∑C(n%2333,i))(其中i∈[0,k%2333])

 

说了这么多，那么这个定理的用法是什么？

显然是递归求解组合数的模数咯～

 

所以对于这道题，我们先预处理出一个S(n,k)=∑C(n,i) (i∈[0,k]) （当然最后都是mod p意义下的），ans=S(n%2333,2332)*(∑C(n/2333,j)) (j∈[0,k1)) + C(n/2333,k1)*S(n%2333,k%2333)

ans中的S()一定可以用二维的东西在规定时空内求出，而∑C(n/2333,j)就是我们超能粒子炮`改的子问题，递归求解即可，另，C(n/2333,k1)也可以用lucas定理递归来解

于是这道题就口头ac了。

00:30完成！

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define md 2333
#define LL long long
inline LL Rin() {
  LL x=0,c=getchar();
  for(;c<48||c>57;c=getchar());
  for(;c>47&&c<58;c=getchar())
    x=x*10+c-(LL)48;
  return x; }
inline LL mod(LL x) {
  return x-(x/md)*md; }
LL frac[md+10],c[md+10][md+10],s[md+10][md+10];
void calc() {
  frac[0]=1LL;
  for(int i=1;i<=md;i++)
    frac[i]=mod(frac[i-1]*(LL)i);
  c[0][0]=1LL;
  for(int i=1;i<=md;i++) {
    c[i][0]=c[i][i]=1LL;
    for(int j=1;j<i;j++)
      c[i][j]=mod(c[i-1][j-1]+c[i-1][j]); }
  for(int i=0;i<=md;i++) {
    s[i][0]=1LL;
    for(int j=1;j<=md;j++)
      s[i][j]=mod(s[i][j-1]+c[i][j]); } }
LL lucas(LL n,LL k) {
  return k!=0LL?mod(c[n%md][k%md]*lucas(n/md,k/md)):1LL; }
LL getans(LL n,LL k) {
  return k<0LL?0LL:mod(mod(s[mod(n)][md-1]*getans(n/md,k/md-1))+mod(lucas(n/md,k/md)*s[mod(n)][mod(k)])); }
int main() {
  calc();
  LL n,k,T=Rin();
  while(T--)
    n=Rin(),k=Rin(),printf("%lld\n",getans(n,k));
  return 0; }