[bzoj1597][usaco2008 mar]土地购买 (动态规划+斜率优化)

Description

农夫John准备扩大他的农场,他正在考虑N (1 <= N <= 50,000) 块长方形的土地. 每块土地的长宽满足(1 <= 宽 <= 1,000,000; 1 <= 长 <= 1,000,000). 每块土地的价格是它的面积,但FJ可以同时购买多快土地. 这些土地的价格是它们最大的长乘以它们最大的宽, 但是土地的长宽不能交换. 如果FJ买一块3x5的地和一块5x3的地,则他需要付5x5=25. FJ希望买下所有的土地,但是他发现分组来买这些土地可以节省经费. 他需要你帮助他找到最小的经费.

Input

* 第1行: 一个数: N

* 第2..N+1行: 第i+1行包含两个数,分别为第i块土地的长和宽

Output

* 第一行: 最小的可行费用.

Sample Input

4
100 1
15 15
20 5
1 100

输入解释:

共有4块土地.

Sample Output

500

HINT

FJ分3组买这些土地: 第一组:100x1, 第二组1x100, 第三组20x5 和 15x15 plot. 每组的价格分别为100,100,300, 总共500.

Solution

第一道斜率优化题。

看到题目，我们可以发现，对于每一个长宽较大的土地，在包括它的组别中，比它长和宽都小的土地不会对结果产生影响

所以我们先对土地以长为第一关键字，宽为第二关键字进行排序，将被大土地包含的小矩形删除

那么朴素的动态规划方程如下

f[i]=min{f[j]+x[i]*y[j+1]}

现在进行斜率优化

设原式中的f[j]+x[i]*y[j+1]为V式

若对于a<b，v(a)>v(b)，

(f[b]-f[a])/(y[a+1]-y[b+1])<x[a]

那么，把决策当作点画在平面直角坐标系上，维护决策函数下凸

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=50001;
typedef long long ll;
int n,q[N],tot;
ll x[N],y[N],f[N];
struct land{
  ll x,y;
  bool operator<(const land h)const{
    if(!(x^h.x))
      return y<h.y;
    return x<h.x;
  }
}a[N];
inline double slope(int a,int b){
  return (f[b]-f[a])/(y[a+1]-y[b+1]);
}
int main(){
  scanf("%d",&n);
  for(int i=1;i<=n;i++)
    scanf("%lld%lld",&a[i].x,&a[i].y);
  sort(a+1,a+1+n);
  for(int i=1;i<=n;i++){
    while(tot&&a[i].y>=y[tot])tot--;
    x[++tot]=a[i].x;y[tot]=a[i].y;
  }
  int l=0,r=0;
  for(int i=1;i<=tot;i++){
    while(l<r&&slope(q[l],q[l+1])<x[i])l++;
    int t=q[l];
    f[i]=f[t]+x[i]*y[t+1];
    while(l<r&&slope(q[r],i)<slope(q[r-1],q[r]))r--;
    q[++r]=i;
  }
  printf("%lld\n",f[tot]);
  return 0;
}