一维树状数组入门

• 名称：BIT，Binary Indexed Tree，或 Fenwick Tree，即树状数组。
• 特点：

                      1.一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值；经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改，但是这时只能查询其中一个元素的值。

                      2.能用树状数组解决的问题，基本上都能用线段树解决，而线段树能解决的树状数组不一定能解决。相比较而言，树状数组效率要高很多（除外zkw线段树）。

                     

• 观察上图，易得：

        C1 = A1

        C2 = A1 + A2

        C3 = A3

        C4 = A1 + A2 + A3 + A4

        C5 = A5

        C6 = A5 + A6

        C7 = A7

        C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8

         ...

       

        设节点编号为x，那么这个节点管辖的区间为2^k（其中k为x二进制末尾0的个数）个元素。因为这个区间最后一个元素必然为Ax，

所以很明显：Cn = A(n – 2^k + 1) + ... + An

        综合来说，节点x所管辖的节点数为2^k，k即x的二进制数为中最左边的0的位置。

        如：     3=11，k[3]=0。

• 计算2^k用函数lowbit，code如下：

inline int lowbit(int x)
{return x&(-x);}

• 则从左到右访问数组，和从右到左访问数组，code如下：

inline void up(int x,int c)
{
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))arr[i]+=c;
}
inline int down(int x)
{
    int res=0;
    for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))res+=arr[i];
    return res;
}

• 
  

  当想要查询一个SUM(n)(求a[n]的和），可以依据如下算法即可：

  step1:　令sum = 0，转第二步；

  step2:　假如n <= 0，算法结束，返回sum值，否则sum = sum + Cn，转第三步；

  step3: 令n = n – lowbit(n)，转第二步。

  可以看出，这个算法就是将这一个个区间的和全部加起来，为什么是效率是log(n)的呢？以下给出证明：

  n = n – lowbit(n)这一步实际上等价于将n的二进制的最后一个1减去。而n的二进制里最多有log(n)个1，所以查询效率是log(n)的。

  那么修改呢，修改一个节点，必须修改其所有祖先，最坏情况下为修改第一个元素，最多有log(n)的祖先。

  所以修改算法如下（给某个结点i加上x）：

  step1: 当i > n时，算法结束，否则转第二步；

  step2: Ci = Ci + x， i = i + lowbit(i)转第一步。

  i = i +lowbit(i)这个过程实际上也只是一个把末尾1补为0的过程。

            注解：up()是点函数，down()是区间函数。单点更新工up(x,c)，求区间a~b的和用down(b)-down(a)。（用BIT Tree求最值则不同）

（详情请见http://blog.csdn.net/q573290534/article/details/6664454）