浅谈树链剖分（每日不间断更新中）

浅谈树链剖分        by ksq2013,参考蒋一瑶ppt

• [简介]：树链剖分就是把一棵树（可以是多叉树）转化成多条链，然后用各种数据结构进行维护，复杂度是O(log2 n)❶，树链剖分的问题中树的路径一般赋有边权。
• [剖分依据]：方法大致有两种，其一是随机化剖分，其二是启发式剖分，我学习启发式剖分，以树上路径“轻”、“重”作为估价标准，也就是轻重链剖分。
• [剖分步骤]：1）将树中的边分为轻边和重边。

                           2）定义size（x）为以x为根的子树的节点个数。

                           3）找到节点V为节点U的儿子中size最大的节点，那么边（U,V）成为重边。

                           4）树中除重边之外的边就是轻边。

                           5）重路径：一条全部由重边构成的路径。

                          

• [剖分性质]：1）轻边（U,V），size（U）/2 >= size（V）（想想就知道，若size（V）比size（U）的一半还大，（U,V）必定是重边）

                           2）从根到某一点的路径上不超过log2 N条轻边，不超过log2 N条重路径❶。

• [剖分实现]：树链剖分的过程为两次DFS（代码参考hzwer.com）：

                           1）第一次DFS，找重边，并记录之。

 

                          2）第二次DFS，找连重边为重链。以根为起点，沿重边向下拓展，拉成重链；不在当前重链上的节点都以该节点为起点向下拉一条重链。

 

• [维护重链]：剖分完以后，每条重链相当于一段区间，用数据结构维护之：把所有重链首尾相接，放到一数据结构上，维护该整体即可。
• [维护操作]：1）单点更新：单独修改一个点的权值，在数据结构中根据编号直接修改。

                    2）区间更新：修改点U到V路径上的权值。

                                          I：若U、V在同一重链上，直接用数据结构修改U~V区间的值；

                                          II：A：若fa[top[U]]与V在同一重链上，修改点U与top[U]间各权值，然后U跳至fa[top[U]]，直到U与V在同一重链，进入I；

                                                

                                                 B：若U向上经过若干条重链和轻边与V在同一重链上，不断修改当前U和top[U]间的各权值，再将U跳至fa[top[U]]，知道U与V在同一重链，进入I；

                                                

                                                 C：若U和V都是向上经过若干条重链和轻边，到达同一重链，则每次在U和V中，找deep[top[x]]较大的点x，修改x与top[x]间的各权值，再跳至fa[top[x]]，直到U与V在同一重链，进入I；

                                               

                                                总的来说，情况A、B是情况C比较特殊的两种；而I也是II的特殊情况。因此这一操作只需一个过程函数即可。

• [维护实现]：

• [询问实现]：
• [具体程序]：见本人博客的树剖专题：http://blog.csdn.net/keshuqi/article/category/6315845