games101_笔记_02：向量与矩阵

前情回顾：什么是计算机图形学，图形学有哪些应用，课程要求

图形学依赖于线性代数，微积分，光学，力学，信号处理，统计，数值分析，美学；分为两个部分说明：向量与矩阵。

向量（vector）：表示有大小有方向的量。AB的向量等于B-A，向量的属性就是方向与大小，向量不具有位置这个概念，随意平移，向量依然方向不变，大小不变。

模长为1，的向量是单位向量。

向量的基本计算：平行四边形法则，三角形法则

 

 

向量在代数上的计算：加法直接就是相应的坐标相加。同时向量还能表示为矩阵

 

 

在图形学中，一般把向量做成一个列矩阵。把向量做一个直角坐标系的做法，是很利于向量做计算模长的

向量的点乘：

 

 

点乘可以快速地得到两向量之间的夹角，向量之间的性质：结合律，交换律

 

 

在代数上计算点乘：

 

 

向量的另一个用处：投影

要计算a向量在b向量的投影，就是a的模长乘以两者之间的余弦

 

 

投影的好处是，可以分解向量，就相当于物理中分解力一般。

向量的点乘还能得到前与后的信息：

 

 

可以告诉我们是方向相同还是方向相反，还能告诉大家，向量之间的距离有多近。

一般向量默认成列向量，是一个约定俗成的事情；

向量的叉乘：

 

 

最终得到的第三个向量就是垂直与两者向量的

具体判定方向就是用右手螺旋定则，从a叉乘b，右手手指从a弯到b，然后看大拇指的方向。与图中是一致的。

 

 

与右手螺旋定则结果相反，对应用的就是左手坐标系，如果是相同的结果，就是右手坐标系。opengl用的就是左手坐标系

向量的叉乘在代数的写法：

 

 

叉乘的作用：

判定左与右，判定内与外

 

 

判定左与右。如果a叉乘b，结果是正的，那么是逆时针的，相对于a来说，那自然就是在a的左边

 

 

如何判定p点在三角形内部：

AB叉乘AP，是逆时针的，大拇指向屏幕外

BC叉乘BP，是逆时针的，大拇指向屏幕外

CA叉乘CP，是逆时针的，大拇指向屏幕外

三者结果相同，说明p相对于ABC三点来说都在他们的左边，那么久只能在三角形的内部。但凡在外部，定有一个叉乘是大拇指指向屏幕内。

通过这个方法，可以在光栅化阶段，看那些像素在三角形内部

如果刚好结果是0说明就在线条上，那这个点在不在三角形内，由自己说了算。

 

 

把一个空间中的向量分解在3D坐标系的轴上

矩阵：

 

 

这种三行两列的组合就是矩阵

矩阵的乘法：

 

 

（3x2）（2x4）这种矩阵的乘法才是有意义的，也才是计算的出来的。

(MxP)(NXS)这种形式是错误的，（MXP)(PXD)这种形式就是正确的，代表着几行几列

要计算未知的数字，它是一行，二列。

找第一个矩阵的第一行，第二个矩阵的第2列，那么计算就是1x6+3x7;

矩阵的性质：矩阵是没有交换律的，但是有结合律的。

矩阵的操作：转置：行列互换

 

 

单位矩阵：

 

 

一个矩阵乘以另一个矩阵，结果是单位矩阵，那么这两个矩阵就是互逆矩阵

 

 

向量的点乘与叉乘在矩阵上的表示；