ARC080F

题目大意：

有无限枚硬币，其中有$N$枚硬币$x_{1\dots N}$初始时正面朝上，其余均为背面朝上，每次可以选择一段区间$[l,r]$，将区间内所有硬币翻转，其中$r-l+1$为一个奇数质数；问最少多少次能将所有硬币全部翻为背面朝上。

• $1<=N<=100$
• $1<=x_1<x_2<...<x_N<={10}^7$

一个很容易想到的思路就是把硬币看成正着的事 $1$ ，反面是 $0$ ，做一个异或前缀和

即初始，对于数组 $a$ ，$a_{x_1}=1a_{x_2}=1\dots a_{x_n}=1$ ，其余为0

令数组 $b$ 为 $b_i=a_{i}xor{a}_{i-1}$

操作是数组 $a$ 对于 $[l,l+p-1]$ 异或 $1$

容易发现在数组 $b$ 上，这个操作相当于对 $b_{l-1}xor1$，$b_{l+p-1}xor1$

也就是每次对数组 $b$ 上相差为奇质数的下标取反

考虑最初的数组 $b$ ，显然会有偶数个 $1$

可以感性的想一想，可以转化成每次通过几次操作删掉两个 $1$

（至于为什么可以这样想，lg讨论区有一个简短的证明）

于是，我们令 $f(l,r)$ 表示删掉 $l$ 和 $r$ 上的 $1$ 的最小操作次数

设 $r-l=k$

显然，当 $k$ 是一个奇质数时，$f(l,r)=1$

接下来将 $k$ 分为奇数和偶数考虑

若 $k=2$ ，可以通过两次操作完成，即将 $(l,l+7)$ 和 $(l+2,l+7)$ 取反

若 $k=4$ ，可以通过两次操作完成，即将 $(l,l+7)$ 和 $(l+4,l+7)$ 取反

若 $k\ge 6$

由于哥德巴赫定理，必有奇质数 $p$，$q$ 满足 $p+q=k$

所以只需要将 $(l,l+p)$ 和 $(l+p,l+p+q)$ 取反即可

若 $k=1$ ，可以通过三次操作完成，即将 $(l,l+7)$ 和 $(l+4,l+7)$ 和 $(l+1,l+4)$ 取反

若 $k\ge 9$

先将 $(l,l+3)$ 取反，然后就变成了一个 $k-3$ 的偶数情况

所以总共 $3$ 次可以解决

总结一下：

当 $k$ 为奇质数时，$f(l,r)=1$

当 $k$ 为偶数时，$f(l,r)=2$

当 $k$ 为奇合数时，$f(l,r)=3$

有一个比较显然的贪心策略，就是从代价为 $1$ 的优先考虑，能删就删

（贪心正确性可以自己想一下，应该是比较简单的）

考虑差为奇质数的情况，由于差是奇数，所以两个位置的奇偶性不同，可以按奇偶性分类

我们对差为奇质数的两个点直接连边，这样就相当于求一个二分图的最大匹配

求完最大匹配后剩下来的一些点，奇偶性相同的点可以用第二种方法删

最后要么剩下一奇一偶，要么删完了

如果剩一奇一偶，那就在加 $3$ 次操作