标记永久化【学习笔记】

众所周知，线段树最重要的操作之一便是标记下传。
但在一些情况下，我们不能进行标记的下传（可能是正确性的问题、或者是复杂度的问题）
正确性问题：比如带修的可持久化线段树中，如果标记下传，会影响之前的版本。
复杂度问题：比如树套树中，push_up操作的复杂度会直接炸掉。
因此，就产生了标记永久化这一方法。
顾名思义，标记永久化就是免去了上传或下传操作。
以区间加、区间和为例子
在update中：每次遍历到的节点都直接更新权值，在最后完全包含的节点更新懒标记。
在query中：每次在完全包含的节点上，都返回这个节点的权值+其所有祖先节点的懒标和*区间长度
给出一份参考代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ls (rt<<1)
#define rs (rt<<1|1)
#define mid (l+r>>1)
#define ll long long
int n,m,a[100005];
struct tree{
	ll v,lz;
}tr[400005];
void push_up(int rt){
	tr[rt].v=tr[ls].v+tr[rs].v;
}
void build(int rt,int l,int r){
	if(l==r){
		tr[rt].v=a[l];
		return ;
	}
	tr[rt].lz=0;
	build(ls,l,mid);
	build(rs,mid+1,r);
	push_up(rt);
}
void update(int rt,int l,int r,int ql,int qr,ll k){
	tr[rt].v+=k*(min(r,qr)-max(l,ql)+1);
	if(ql<=l && qr>=r){
		tr[rt].lz+=k;
		return ;
	}
	if(ql<=mid)update(ls,l,mid,ql,qr,k);
	if(qr>mid)update(rs,mid+1,r,ql,qr,k);
}
ll query(int rt,int l,int r,int ql,int qr,ll lzs){
	if(ql<=l && qr>=r)return tr[rt].v+(r-l+1)*lzs;
	ll res=0;
	if(ql<=mid)res+=query(ls,l,mid,ql,qr,lzs+tr[rt].lz);
	if(qr>mid)res+=query(rs,mid+1,r,ql,qr,lzs+tr[rt].lz);
	return res;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
	build(1,1,n);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int op,l,r;scanf("%d%d%d",&op,&l,&r);
		if(op==1){
			ll k;scanf("%lld",&k);
			update(1,1,n,l,r,k);
		}else printf("%lld\n",query(1,1,n,l,r,0));
	}
	return 0;
} 

example

1.SP11470 TTM - To the moon
传送门（spoj）
传送门（luogu）

其实就是个带修的可持久化线段树
为了防止影响以前的版本，需要加一个标记永久化

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define mid (l+r>>1)
#define lson tr[rt].ls
#define rson tr[rt].rs
#define ls1 tr[rt1].ls
#define ls2 tr[rt2].ls
#define rs1 tr[rt1].rs
#define rs2 tr[rt2].rs
int n,m,a[100005];
struct node{
	int ls,rs,lz;
	ll v;
}tr[8000005];
int tot,ut,rot[100005];
void push_up(int rt){
	tr[rt].v=tr[lson].v+tr[rson].v;
}
void build(int rt,int l,int r){
	if(l==r){
		tr[rt].v=a[l];
		return ;
	}
	lson=++tot;build(lson,l,mid);
	rson=++tot;build(rson,mid+1,r);
	push_up(rt);
}
void update(int rt1,int rt2,int l,int r,int ql,int qr,int k){
	tr[rt1]=tr[rt2];
	tr[rt1].v+=1LL*k*(min(r,qr)-max(l,ql)+1);
	if(ql<=l && qr>=r){
		tr[rt1].lz+=k;
		return ;
	}
	if(ql<=mid){
		ls1=++tot;
		update(ls1,ls2,l,mid,ql,qr,k);
	}else ls1=ls2;
	if(qr>mid){
		rs1=++tot;
		update(rs1,rs2,mid+1,r,ql,qr,k);
	}else rs1=rs2;
}
ll query(int rt,int l,int r,int ql,int qr,ll lzs){
	if(ql<=l && qr>=r)return tr[rt].v+lzs*(r-l+1);
	ll res=0;
	if(ql<=mid && lson)res+=query(lson,l,mid,ql,qr,lzs+tr[rt].lz);
	if(qr>mid && rson)res+=query(rson,mid+1,r,ql,qr,lzs+tr[rt].lz);
	return res;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
	rot[0]=++tot;build(1,1,n);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		char op[5];scanf("%s",op+1);
		if(op[1]=='C'){
			int l,r,d;scanf("%d%d%d",&l,&r,&d);
			ut++;rot[ut]=++tot;
			update(rot[ut],rot[ut-1],1,n,l,r,d);
		}else if(op[1]=='Q'){
			int l,r;scanf("%d%d",&l,&r);
			printf("%lld\n",query(rot[ut],1,n,l,r,0));
		}else if(op[1]=='H'){
			int l,r,t;scanf("%d%d%d",&l,&r,&t);
			printf("%lld\n",query(rot[t],1,n,l,r,0));
		}else if(op[1]=='B'){
			int t;scanf("%d",&t);
			ut=t;
		}
	}
	return 0;
} 

后面树套树中的标记永久化，由于我不会树套树，所以不写了（待会学一下splay、treap，就去学树套树）