AcWing
acwing算法学习
目录
- acwing算法学习
- 第一章
- 快速排序算法模板 —— 模板题 AcWing 785. 快速排序
- 归并排序算法模板 —— 模板题 AcWing 787. 归并排序
- 整数二分算法模板 —— 模板题 AcWing 789. 数的范围
- 浮点数二分算法模板 —— 模板题 AcWing 790. 数的三次方根
- 高精度加法 —— 模板题 AcWing 791. 高精度加法
- 高精度减法 —— 模板题 AcWing 792. 高精度减法
- 高精度乘低精度 —— 模板题 AcWing 793. 高精度乘法
- 高精度除以低精度 —— 模板题 AcWing 794. 高精度除法
- 一维前缀和 —— 模板题 AcWing 795. 前缀和
- 二维前缀和 —— 模板题 AcWing 796. 子矩阵的和
- 一维差分 —— 模板题 AcWing 797. 差分
- 二维差分 —— 模板题 AcWing 798. 差分矩阵/二维差分
- 双指针算法 —— 模板题 AcWIng 799. 最长连续不重复子序列, AcWing 800. 数组元素的目标和 __滑动窗口？
- 位运算 —— 模板题 AcWing 801. 二进制中1的个数
- 整数离散化 —— 模板题 AcWing 802. 区间和
- 区间合并 —— 模板题 AcWing 803. 区间合并
- 第二章
- 单链表 —— 模板题 AcWing 826. 单链表
- 双链表 —— 模板题 AcWing 827. 双链表
- 栈 —— 模板题 AcWing 828. 模拟栈
- 队列 —— 模板题 AcWing 829. 模拟队列
- 单调栈 —— 模板题 AcWing 830. 单调栈
- 单调队列 —— 模板题 AcWing 154. 滑动窗口
- KMP —— 模板题 AcWing 831. KMP字符串
- Trie树 —— 模板题 AcWing 835. Trie字符串统计
- 并查集 —— 模板题 AcWing 836. 合并集合, AcWing 837. 连通块中点的数量
- 堆 —— 模板题 AcWing 838. 堆排序, AcWing 839. 模拟堆
- 一般哈希 —— 模板题 AcWing 840. 模拟散列表
- 字符串哈希 —— 模板题 AcWing 841. 字符串哈希
- C++ STL简介
- 第三章
- 树与图的存储
- 树与图的遍历
- 拓扑排序 —— 模板题 AcWing 848. 有向图的拓扑序列
- 最短路
- 朴素dijkstra算法 —— 模板题 AcWing 849. Dijkstra求最短路 I 基于贪心
- 堆优化版dijkstra —— 模板题 AcWing 850. Dijkstra求最短路 II
- Bellman-Ford算法 —— 模板题 AcWing 853. 有边数限制的最短路
- spfa 算法（队列优化的Bellman-Ford算法） —— 模板题 AcWing 851. spfa求最短路
- spfa判断图中是否存在负环 —— 模板题 AcWing 852. spfa判断负环
- floyd算法 —— 模板题 AcWing 854. Floyd求最短路
- 最小生成树（无向图）
- 朴素版prim算法 —— 模板题 AcWing 858. Prim算法求最小生成树
- Kruskal算法 —— 模板题 AcWing 859. Kruskal算法求最小生成树
- 染色法（本质dfs)判别二分图 —— 模板题 AcWing 860. 染色法判定二分图
- 匈牙利算法 —— 模板题 AcWing 861. 二分图的最大匹配
- 第四章
- 试除法判定质数 —— 模板题 AcWing 866. 试除法判定质数
- 试除法分解质因数 —— 模板题 AcWing 867. 分解质因数
- 朴素筛法求素数 —— 模板题 AcWing 868. 筛质数
- 线性筛法求素数 —— 模板题 AcWing 868. 筛质数
- 试除法求所有约数 —— 模板题 AcWing 869. 试除法求约数
- 约数个数和约数之和 —— 模板题 AcWing 870. 约数个数, AcWing 871. 约数之和
- 欧几里得算法 —— 模板题 AcWing 872. 最大公约数
- 求欧拉函数 —— 模板题 AcWing 873. 欧拉函数
- 筛法求欧拉函数 —— 模板题 AcWing 874. 筛法求欧拉函数
- 快速幂 —— 模板题 AcWing 875. 快速幂
- 扩展欧几里得算法 —— 模板题 AcWing 877. 扩展欧几里得算法
- 高斯消元 —— 模板题 AcWing 883. 高斯消元解线性方程组
- 递归法求组合数 —— 模板题 AcWing 885. 求组合数 I
- 通过预处理逆元的方式求组合数 —— 模板题 AcWing 886. 求组合数 II
- Lucas定理 —— 模板题 AcWing 887. 求组合数 III
- 分解质因数法求组合数 —— 模板题 AcWing 888. 求组合数 IV
- 卡特兰数 —— 模板题 AcWing 889. 满足条件的01序列
- 容斥原理
- NIM游戏 —— 模板题 AcWing 891. Nim游戏
- 有向图游戏的和 —— 模板题 AcWing 893. 集合-Nim游戏
- 第一章
- 动态规划
第一章
课上：学思想
课下：背代码
题目，一道题写好几遍
记忆力 毅力/自制力
沉下心背东西
快速排序算法模板 —— 模板题 AcWing 785. 快速排序
分治
1、确定分界点，l、r、（l+r)/2 随机
2、调整区间，分为两边，左边小于等于x,右边大于等于x
3、递归处理左右两段
void quick_sort(int q[], int l, int r) { if (l >= r) return; int i = l - 1, j = r + 1, x = q[l + r >> 1]; while (i < j) { do i ++ ; while (q[i] < x); do j -- ; while (q[j] > x); if (i < j) swap(q[i], q[j]); } quick_sort(q, l, j), quick_sort(q, j + 1, r); }
归并排序算法模板 —— 模板题 AcWing 787. 归并排序
排序稳定：序列中相同的值排序后的相对位置是否发生改变
时间复杂度有 （nlogn)
1）确定分界点mid
2）递归排序两边
2）归并，合并为一个有序数组
void merge_sort(int q[], int l, int r) { if (l >= r) return; int mid = l + r >> 1; merge_sort(q, l, mid); merge_sort(q, mid + 1, r); int k = 0, i = l, j = mid + 1; while (i <= mid && j <= r) if (q[i] < q[j]) tmp[k ++ ] = q[i ++ ]; else tmp[k ++ ] = q[j ++ ]; while (i <= mid) tmp[k ++ ] = q[i ++ ]; while (j <= r) tmp[k ++ ] = q[j ++ ]; for (i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++ ) q[i] = tmp[j]; }
整数二分算法模板 —— 模板题 AcWing 789. 数的范围
边界问题
本质：区间内一半满足一半不满足
l=mid时加一
bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质 // 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用： int bsearch_1(int l, int r) { while (l < r) { int mid = l + r >> 1; if (check(mid)) r = mid; // check()判断mid是否满足性质 else l = mid + 1; } return l; } // 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用： int bsearch_2(int l, int r) { while (l < r) { int mid = l + r + 1 >> 1; if (check(mid)) l = mid; else r = mid - 1; } return l; }
浮点数二分算法模板 —— 模板题 AcWing 790. 数的三次方根
浮点数二分，比较对应整数二分
bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质 double bsearch_3(double l, double r) { const double eps = 1e-6; // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求 while (r - l > eps) { double mid = (l + r) / 2; if (check(mid)) r = mid; else l = mid; } return l; }
高精度加法 —— 模板题 AcWing 791. 高精度加法
// C = A + B, A >= 0, B >= 0 vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B) { if (A.size() < B.size()) return add(B, A); vector<int> C; int t = 0; for (int i = 0; i < A.size(); i ++ ) { t += A[i]; if (i < B.size()) t += B[i]; C.push_back(t % 10); t /= 10; } if (t) C.push_back(t); return C; }
高精度减法 —— 模板题 AcWing 792. 高精度减法
// C = A - B, 满足A >= B, A >= 0, B >= 0 vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B) { vector<int> C; for (int i = 0, t = 0; i < A.size(); i ++ ) { t = A[i] - t; if (i < B.size()) t -= B[i]; C.push_back((t + 10) % 10); if (t < 0) t = 1; else t = 0; } while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back(); return C; }
高精度乘低精度 —— 模板题 AcWing 793. 高精度乘法
// C = A * b, A >= 0, b > 0 vector<int> mul(vector<int> &A, int b) { vector<int> C; int t = 0; for (int i = 0; i < A.size() || t; i ++ ) { if (i < A.size()) t += A[i] * b; C.push_back(t % 10); t /= 10; } return C; }
高精度除以低精度 —— 模板题 AcWing 794. 高精度除法
// A / b = C ... r, A >= 0, b > 0 vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r) { vector<int> C; r = 0; for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i -- ) { r = r * 10 + A[i]; C.push_back(r / b); r %= b; } reverse(C.begin(), C.end()); while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back(); return C; }
一维前缀和 —— 模板题 AcWing 795. 前缀和
快速求区间和
S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i] a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1] 从1开始，便于处理边界
二维前缀和 —— 模板题 AcWing 796. 子矩阵的和
S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和 以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为： S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]
一维差分 —— 模板题 AcWing 797. 差分
给区间[l, r]中的每个数加上c： B[l] += c, B[r + 1] -= c
二维差分 —— 模板题 AcWing 798. 差分矩阵/二维差分
给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c： S[x1, y1] += c, S[x2 + 1, y1] -= c, S[x1, y2 + 1] -= c, S[x2 + 1, y2 + 1] += c
双指针算法 —— 模板题 AcWIng 799. 最长连续不重复子序列, AcWing 800. 数组元素的目标和 __滑动窗口？
核心：把O(n^2)算法优化为O(n)
for (int i = 0, j = 0; i < n; i ++ ) { while (j < i && check(j, i)) j ++ ; // 具体问题的逻辑 } 常见问题分类： (1) 对于一个序列，用两个指针维护一段区间 (2) 对于两个序列，维护某种次序，比如归并排序中合并两个有序序列的操作
位运算 —— 模板题 AcWing 801. 二进制中1的个数
原码，反码，补码 求n二进制表示中第k位数字: n >> k & 1 返回n的最后一位1：lowbit(n) = n & -n 树状数组基本操作
整数离散化 —— 模板题 AcWing 802. 区间和
vector<int> alls; // 存储所有待离散化的值 sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有值排序 alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end())返回去重后数组末尾端点, alls.end()); // 去掉重复元素 // 二分求出x对应的离散化的值 int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置 { int l = 0, r = alls.size() - 1; while (l < r) { int mid = l + r >> 1; if (alls[mid] >= x) r = mid; else l = mid + 1; } return r + 1; // 映射到1, 2, ...n }
区间合并 —— 模板题 AcWing 803. 区间合并
// 将所有存在交集的区间合并 贪心 void merge(vector<PII> &segs) { vector<PII> res; sort(segs.begin(), segs.end()); //区间左端点排序 int st = -2e9, ed = -2e9; for (auto seg : segs) if (ed < seg.first) { if (st != -2e9) res.push_back({st, ed}); st = seg.first, ed = seg.second; } else ed = max(ed, seg.second); if (st != -2e9) res.push_back({st, ed}); segs = res; }
作者：yxc
链接：https://www.acwing.com/blog/content/277/
来源：AcWing
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
第二章
数据结构，以数组模拟的形式
指针+结构体 ： 面试题
单链表 —— 模板题 AcWing 826. 单链表
邻接表-存储树和图 静态链表
下标从0开始
// head存储链表头，e[]存储节点的值，ne[]存储节点的next指针，idx表示当前用到了哪个节点 int head, e[N], ne[N], idx; // 初始化 void init() { head = -1; idx = 0; } // 在链表头插入一个数a void insert(int a) { e[idx] = a, ne[idx] = head, head = idx ++ ; } // 插入下标k后面 void add(int k,int x) { e[idx]= x, ne[idx] = ne[k], ne[k] = idx++ ; } // 将头结点删除，需要保证头结点存在 void remove() { head = ne[head]; } // 将k后面的点删掉 void remove(int k) { ne[k] = ne[ne[k]]; }
双链表 —— 模板题 AcWing 827. 双链表
优化某些问题
// e[]表示节点的值，l[]表示节点的左指针，r[]表示节点的右指针，idx表示当前用到了哪个节点 int e[N], l[N], r[N], idx; // 初始化 void init() { //0是左端点，1是右端点 r[0] = 1, l[1] = 0; idx = 2; } // 在节点a的右边插入一个数x void insert(int a, int x) { e[idx] = x; l[idx] = a, r[idx] = r[a]; l[r[a]] = idx, r[a] = idx ++ ; } // 删除节点a void remove(int a) { l[r[a]] = l[a]; r[l[a]] = r[a]; }
栈 —— 模板题 AcWing 828. 模拟栈
// tt表示栈顶 int stk[N], tt = 0; // 向栈顶插入一个数 stk[ ++ tt] = x; // 从栈顶弹出一个数 tt -- ; // 栈顶的值 stk[tt]; // 判断栈是否为空 if (tt > 0) { }
队列 —— 模板题 AcWing 829. 模拟队列
普通队列： // hh 表示队头，tt表示队尾 int q[N], hh = 0, tt = -1; // 向队尾插入一个数 q[ ++ tt] = x; // 从队头弹出一个数 hh ++ ; // 队头的值 q[hh]; // 判断队列是否为空 if (hh <= tt) { } 循环队列 // hh 表示队头，tt表示队尾的后一个位置 int q[N], hh = 0, tt = 0; // 向队尾插入一个数 q[tt ++ ] = x; if (tt == N) tt = 0; // 从队头弹出一个数 hh ++ ; if (hh == N) hh = 0; // 队头的值 q[hh]; // 判断队列是否为空 if (hh != tt) { }
单调栈 —— 模板题 AcWing 830. 单调栈
常见模型：找出每个数左边离它最近的比它大/小的数 int tt = 0; for (int i = 1; i <= n; i ++ ) { while (tt && check(stk[tt], i)) tt -- ; stk[ ++ tt] = i; }
单调队列 —— 模板题 AcWing 154. 滑动窗口
常见模型：找出滑动窗口中的最大值/最小值 int hh = 0, tt = -1; for (int i = 0; i < n; i ++ ) { while (hh <= tt && check_out(q[hh])) hh ++ ; // 判断队头是否滑出窗口 while (hh <= tt && check(q[tt], i)) tt -- ; q[ ++ tt] = i; }
KMP —— 模板题 AcWing 831. KMP字符串
//求Next数组： // s[]是模式串，p[]是模板串, n是s的长度，m是p的长度 for (int i = 2, j = 0; i <= m; i ++ ) { while (j && p[i] != p[j + 1]) j = ne[j]; if (p[i] == p[j + 1]) j ++ ; ne[i] = j; } // 匹配 for (int i = 1, j = 0; i <= n; i ++ ) { while (j && s[i] != p[j + 1]) j = ne[j]; if (s[i] == p[j + 1]) j ++ ; if (j == m) { j = ne[j]; // 匹配成功后的逻辑 } }
Trie树 —— 模板题 AcWing 835. Trie字符串统计
int son[N][26], cnt[N], idx; // 0号点既是根节点，又是空节点 // son[][]存储树中每个节点的子节点 // cnt[]存储以每个节点结尾的单词数量 // 插入一个字符串 void insert(char *str) { int p = 0; for (int i = 0; str[i]; i ++ ) { int u = str[i] - 'a'; if (!son[p][u]) son[p][u] = ++ idx; p = son[p][u]; } cnt[p] ++ ; } // 查询字符串出现的次数 int query(char *str) { int p = 0; for (int i = 0; str[i]; i ++ ) { int u = str[i] - 'a'; if (!son[p][u]) return 0; p = son[p][u]; } return cnt[p]; }
并查集 —— 模板题 AcWing 836. 合并集合, AcWing 837. 连通块中点的数量
按秩合并
字符按字符串读入
(1)朴素并查集：
int p[N]; //存储每个点的祖宗节点 // 返回x的祖宗节点 int find(int x) { if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]); return p[x]; } // 初始化，假定节点编号是1~n for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i; // 合并a和b所在的两个集合： p[find(a)] = find(b);
(2)维护size的并查集：
int p[N], size[N]; //p[]存储每个点的祖宗节点, size[]只有祖宗节点的有意义，表示祖宗节点所在集合中的点的数量 // 返回x的祖宗节点 int find(int x) { if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]); return p[x]; } // 初始化，假定节点编号是1~n for (int i = 1; i <= n; i ++ ) { p[i] = i; size[i] = 1; } // 合并a和b所在的两个集合： p[find(a)] = find(b); size[b] += size[a];
(3)维护到祖宗节点距离的并查集：
int p[N], d[N]; //p[]存储每个点的祖宗节点, d[x]存储x到p[x]的距离 // 返回x的祖宗节点 int find(int x) { if (p[x] != x) { int u = find(p[x]); d[x] += d[p[x]]; p[x] = u; } return p[x]; } // 初始化，假定节点编号是1~n for (int i = 1; i <= n; i ++ ) { p[i] = i; d[I] = 0; } // 合并a和b所在的两个集合： p[find(a)] = find(b); d[find(a)] = distance; // 根据具体问题，初始化find(a)的偏移量
堆 —— 模板题 AcWing 838. 堆排序, AcWing 839. 模拟堆
维护集合的数据结构 （大根堆，父节点值不小于子节点值）
// h[N]存储堆中的值, h[1]是堆顶，x的左儿子是2x, 右儿子是2x + 1 // ph[k]存储第k个插入的点在堆中的位置 // hp[k]存储堆中下标是k的点是第几个插入的 int h[N], ph[N], hp[N], size; // 交换两个点，及其映射关系 void heap_swap(int a, int b) { //swap(ph[hp[a]],ph[hp[b]]); 根据题意 //swap(hp[a], hp[b]); swap(h[a], h[b]); } void down(int u) { int t = u; if (u * 2 <= size && h[u * 2] < h[t]) t = u * 2; if (u * 2 + 1 <= size && h[u * 2 + 1] < h[t]) t = u * 2 + 1; if (u != t) { heap_swap(u, t); down(t); } } void up(int u) { while (u / 2 && h[u] < h[u / 2]) { heap_swap(u, u / 2); u >>= 1; } } // O(n)建堆 for (int i = n / 2; i; i -- ) down(i);
一般哈希 —— 模板题 AcWing 840. 模拟散列表
(1) 拉链法 int h[N], e[N], ne[N], idx; // 向哈希表中插入一个数 void insert(int x) { int k = (x % N + N) % N; e[idx] = x; ne[idx] = h[k]; h[k] = idx ++ ; } // 在哈希表中查询某个数是否存在 bool find(int x) { int k = (x % N + N) % N; for (int i = h[k]; i != -1; i = ne[i]) if (e[i] == x) return true; return false; } (2) 开放寻址法 int h[N]; // 如果x在哈希表中，返回x的下标；如果x不在哈希表中，返回x应该插入的位置 int find(int x) { int t = (x % N + N) % N; while (h[t] != null && h[t] != x) { t ++ ; if (t == N) t = 0; } return t; }
字符串哈希 —— 模板题 AcWing 841. 字符串哈希
核心思想：将字符串看成P进制数，P的经验值是131或13331，取这两个值的冲突概率低
小技巧：取模的数用2^64，这样直接用unsigned long long存储，溢出的结果就是取模的结果。
typedef unsigned long long ULL; const int p = 131 or 13331 ; ULL h[N], p[N]; // h[k]存储字符串前k个字母的哈希值, p[k]存储 P^k mod 2^64 // 初始化 p[0] = 1; for (int i = 1; i <= n; i ++ ) { h[i] = h[i - 1] * P + str[i]; p[i] = p[i - 1] * P; } // 计算子串 str[l ~ r] 的哈希值 ULL get(int l, int r) { return h[r] - h[l - 1] * p[r - l + 1]; }
C++ STL简介
所有容器都有size() empty() vector, 变长数组，倍增的思想 size() 返回元素个数 empty() 返回是否为空 clear() 清空 front()/back() push_back()/pop_back() begin()/end() [] 支持比较运算，按字典序 vector<int> a(10,2); a.empty(); pair<int, int> first, 第一个元素 second, 第二个元素 支持比较运算，以first为第一关键字，以second为第二关键字（字典序） pair<int,int> p; p=make_pair(1,1); p={1,1}; string，字符串 size()/length() 返回字符串长度 empty() clear() substr(起始下标，(子串长度)) 返回子串 c_str() 返回字符串所在字符数组的起始地址 queue, 队列 没有clear函数 清空用 size() empty() push() 向队尾插入一个元素 front() 返回队头元素 back() 返回队尾元素 pop() 弹出队头元素 priority_queue, 优先队列，默认是大根堆 push() 插入一个元素 top() 返回堆顶元素 pop() 弹出堆顶元素 定义成小根堆的方式：priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> q; stack, 栈 size() empty() push() 向栈顶插入一个元素 top() 返回栈顶元素 pop() 弹出栈顶元素 deque, 双端队列 size() empty() clear() front()/back() push_back()/pop_back() push_front()/pop_front() begin()/end() [] set, map, multiset, multimap, 基于平衡二叉树（红黑树），动态维护有序序列 size() empty() clear() begin()/end() ++, -- 返回前驱和后继，时间复杂度 O(logn) set/multiset insert() 插入一个数 find() 查找一个数 count() 返回某一个数的个数 erase() (1) 输入是一个数x，删除所有x O(k + logn) (2) 输入一个迭代器，删除这个迭代器 lower_bound()/upper_bound() lower_bound(x) 返回大于等于x的最小的数的迭代器 upper_bound(x) 返回大于x的最小的数的迭代器 map/multimap insert() 插入的数是一个pair erase() 输入的参数是pair或者迭代器 find() [] 注意multimap不支持此操作。 时间复杂度是 O(logn) lower_bound()/upper_bound() set/multiset insert() 插入一个数 find() 查找一个数 count() 返回某一个数的个数 erase() (1) 输入是一个数x，删除所有x O(k + logn) (2) 输入一个迭代器，删除这个迭代器 lower_bound()/upper_bound() lower_bound(x) 返回大于等于x的最小的数的迭代器 upper_bound(x) 返回大于x的最小的数的迭代器 map/multimap insert() 插入的数是一个pair erase() 输入的参数是pair或者迭代器 find() [] 注意multimap不支持此操作。 时间复杂度是 O(logn) lower_bound()/upper_bound() unordered_set, unordered_map, unordered_multiset, unordered_multimap, 哈希表 和上面类似，增删改查的时间复杂度是 O(1) 不支持 lower_bound()/upper_bound()， 迭代器的++，-- bitset, 圧位 bitset<10000> s; ~, &, |, ^ >>, << ==, != [] count() 返回有多少个1 none() 判断是否全为0 any() 判断是否至少有一个1 set() 把所有位置成1 set(k, v) 将第k位变成v reset() 把所有位变成0 flip() 等价于~ flip(k) 把第k位取反
作者：yxc
链接：https://www.acwing.com/blog/content/404/
来源：AcWing
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
第三章
树与图的存储
树是一种特殊的图: 无环连通图，与图的存储方式相同。
对于无向图中的边ab，存储两条有向边a->b, b->a。
因此我们可以只考虑有向图的存储。
(1) 邻接矩阵：g[a][b] 存储边a->b (2) 邻接表： // 对于每个点k，开一个单链表，存储k所有可以走到的点。h[k]存储这个单链表的头结点 int h[N], e[N], ne[N], idx; // 添加一条边a->b void add(int a, int b) { e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ; } // 初始化 idx = 0; memset(h, -1, sizeof h);
树与图的遍历
时间复杂度 O(n+m)O(n+m), nn 表示点数，mm 表示边数
(1) 深度优先遍历 —— 模板题 AcWing 846. 树的重心
int dfs(int u) { st[u] = true; // st[u] 表示点u已经被遍历过 for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) { int j = e[i]; if (!st[j]) dfs(j); } }
(2) 宽度优先遍历 —— 模板题 AcWing 847. 图中点的层次
queue<int> q; st[1] = true; // 表示1号点已经被遍历过 q.push(1); while (q.size()) { int t = q.front(); q.pop(); for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) { int j = e[i]; if (!s[j]) { st[j] = true; // 表示点j已经被遍历过 q.push(j); } } }
拓扑排序 —— 模板题 AcWing 848. 有向图的拓扑序列
时间复杂度 O(n+m)O(n+m), nn 表示点数，mm 表示边数
bool topsort() { int hh = 0, tt = -1; // d[i] 存储点i的入度 for (int i = 1; i <= n; i ++ ) if (!d[i]) q[ ++ tt] = i; while (hh <= tt) { int t = q[hh ++ ]; for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) { int j = e[i]; if (-- d[j] == 0) q[ ++ tt] = j; } } // 如果所有点都入队了，说明存在拓扑序列；否则不存在拓扑序列。 return tt == n - 1; }
最短路
单源最短路
所有边权均为正：朴素Dijkstra O(n^2)；堆优化版的Dijkstra(mlogn)
存在负权变：Bellman-Ford O(nm) ； SPFA（队列优化Bellman-Ford) 一般：O(m) 最坏 O(nm)
多元汇最短路：Floyed算法 O(n^3)
朴素dijkstra算法 —— 模板题 AcWing 849. Dijkstra求最短路 I 基于贪心
时间复杂是 O(n2+m), n 表示点数，m 表示边数
int g[N][N]; // 存储每条边 int dist[N]; // 存储1号点到每个点的最短距离 bool st[N]; // 存储每个点的最短路是否已经确定 // 求1号点到n号点的最短路，如果不存在则返回-1 int dijkstra() { memset(dist, 0x3f, sizeof dist); dist[1] = 0; for (int i = 0; i < n - 1; i ++ ) { int t = -1; // 在还未确定最短路的点中，寻找距离最小的点 for (int j = 1; j <= n; j ++ ) if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j])) t = j; // 用t更新其他点的距离 for (int j = 1; j <= n; j ++ ) dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]); st[t] = true; } if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1; return dist[n]; }
堆优化版dijkstra —— 模板题 AcWing 850. Dijkstra求最短路 II
时间复杂度 O(mlogn), n 表示点数，m 表示边数
typedef pair<int, int> PII; int n; // 点的数量 int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx; // 邻接表存储所有边 int dist[N]; // 存储所有点到1号点的距离 bool st[N]; // 存储每个点的最短距离是否已确定 // 求1号点到n号点的最短距离，如果不存在，则返回-1 int dijkstra() { memset(dist, 0x3f, sizeof dist); dist[1] = 0; priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap; heap.push({0, 1}); // first存储距离，second存储节点编号 while (heap.size()) { auto t = heap.top(); heap.pop(); int ver = t.second, distance = t.first; if (st[ver]) continue; st[ver] = true; for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i]) { int j = e[i]; if (dist[j] > distance + w[i]) { dist[j] = distance + w[i]; heap.push({dist[j], j}); } } } if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1; return dist[n]; }
Bellman-Ford算法 —— 模板题 AcWing 853. 有边数限制的最短路
时间复杂度 O(nm), n 表示点数，m表示边数
注意在模板题中需要对下面的模板稍作修改，加上备份数组，详情见模板题。
int n, m; // n表示点数，m表示边数 int dist[N]; // dist[x]存储1到x的最短路距离 struct Edge // 边，a表示出点，b表示入点，w表示边的权重 { int a, b, w; }edges[M]; // 求1到n的最短路距离，如果无法从1走到n，则返回-1。 int bellman_ford() { memset(dist, 0x3f, sizeof dist); dist[1] = 0; // 如果第n次迭代仍然会松弛三角不等式，就说明存在一条长度是n+1的最短路径，由抽屉原理，路径中至少存在两个相同的点，说明图中存在负权回路。 for (int i = 0; i < n; i ++ ) { for (int j = 0; j < m; j ++ ) { int a = edges[j].a, b = edges[j].b, w = edges[j].w; if (dist[b] > dist[a] + w) dist[b] = dist[a] + w; } } if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) return -1; return dist[n]; }
spfa 算法（队列优化的Bellman-Ford算法） —— 模板题 AcWing 851. spfa求最短路
时间复杂度 平均情况下 O(m)，最坏情况下 O(nm), n 表示点数，m 表示边数
int n; // 总点数 int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx; // 邻接表存储所有边 int dist[N]; // 存储每个点到1号点的最短距离 bool st[N]; // 存储每个点是否在队列中 // 求1号点到n号点的最短路距离，如果从1号点无法走到n号点则返回-1 int spfa() { memset(dist, 0x3f, sizeof dist); dist[1] = 0; queue<int> q; q.push(1); st[1] = true; while (q.size()) { auto t = q.front(); q.pop(); st[t] = false; for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) { int j = e[i]; if (dist[j] > dist[t] + w[i]) { dist[j] = dist[t] + w[i]; if (!st[j]) // 如果队列中已存在j，则不需要将j重复插入 { q.push(j); st[j] = true; } } } } if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1; return dist[n]; }
spfa判断图中是否存在负环 —— 模板题 AcWing 852. spfa判断负环
时间复杂度是 O(nm), n 表示点数，m 表示边数
int n; // 总点数 int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx; // 邻接表存储所有边 int dist[N], cnt[N]; // dist[x]存储1号点到x的最短距离，cnt[x]存储1到x的最短路中经过的点数 bool st[N]; // 存储每个点是否在队列中 // 如果存在负环，则返回true，否则返回false。 bool spfa() { // 不需要初始化dist数组 // 原理：如果某条最短路径上有n个点（除了自己），那么加上自己之后一共有n+1个点，由抽屉原理一定有两个点相同，所以存在环。 queue<int> q; for (int i = 1; i <= n; i ++ ) { q.push(i); st[i] = true; } while (q.size()) { auto t = q.front(); q.pop(); st[t] = false; for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) { int j = e[i]; if (dist[j] > dist[t] + w[i]) { dist[j] = dist[t] + w[i]; cnt[j] = cnt[t] + 1; if (cnt[j] >= n) return true; // 如果从1号点到x的最短路中包含至少n个点（不包括自己），则说明存在环 if (!st[j]) { q.push(j); st[j] = true; } } } } return false; }
floyd算法 —— 模板题 AcWing 854. Floyd求最短路
时间复杂度是 O(n3)O(n3), nn 表示点数 初始化： for (int i = 1; i <= n; i ++ ) for (int j = 1; j <= n; j ++ ) if (i == j) d[i][j] = 0; else d[i][j] = INF; // 算法结束后，d[a][b]表示a到b的最短距离 void floyd() { for (int k = 1; k <= n; k ++ ) for (int i = 1; i <= n; i ++ ) for (int j = 1; j <= n; j ++ ) d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]); }
最小生成树（无向图）
Prim : 朴素版Prim O(n^2)(稠密图) ; 堆优化版Prim O(mlogn)(一般不会用)
Kruskal : O(mlogm)(稀疏图)
朴素版prim算法 —— 模板题 AcWing 858. Prim算法求最小生成树
时间复杂度是 O(n^2+m), n 表示点数，m 表示边数
初始化距离为正无穷，迭代所有点，找到集合中最近的点，更新它到集合的距离，把t加到集合中。
int n; // n表示点数 int g[N][N]; // 邻接矩阵，存储所有边 int dist[N]; // 存储其他点到当前最小生成树的距离 bool st[N]; // 存储每个点是否已经在生成树中 // 如果图不连通，则返回INF(值是0x3f3f3f3f), 否则返回最小生成树的树边权重之和 int prim() { memset(dist, 0x3f, sizeof dist); int res = 0; for (int i = 0; i < n; i ++ ) { int t = -1; for (int j = 1; j <= n; j ++ ) if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j])) t = j; if (i && dist[t] == INF) return INF; if (i) res += dist[t]; st[t] = true; for (int j = 1; j <= n; j ++ ) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]); } return res; }
Kruskal算法 —— 模板题 AcWing 859. Kruskal算法求最小生成树
时间复杂度是 O(mlogm), n 表示点数，m 表示边数
int n, m; // n是点数，m是边数 int p[N]; // 并查集的父节点数组 struct Edge // 存储边 { int a, b, w; bool operator< (const Edge &W)const { return w < W.w; } }edges[M]; int find(int x) // 并查集核心操作 { if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]); return p[x]; } int kruskal() { sort(edges, edges + m); for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i; // 初始化并查集 int res = 0, cnt = 0; for (int i = 0; i < m; i ++ ) { int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w; a = find(a), b = find(b); if (a != b) // 如果两个连通块不连通，则将这两个连通块合并 { p[a] = b; res += w; cnt ++ ; } } if (cnt < n - 1) return INF; return res; }
染色法（本质dfs)判别二分图 —— 模板题 AcWing 860. 染色法判定二分图
时间复杂度是 O(n+m), n 表示点数，m 表示边数
int n; // n表示点数 int h[N], e[M], ne[M], idx; // 邻接表存储图 int color[N]; // 表示每个点的颜色，-1表示为染色，0表示白色，1表示黑色 // 参数：u表示当前节点，c表示当前点的颜色 bool dfs(int u, int c) { color[u] = c; for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) { int j = e[i]; if (color[j] == -1) { if (!dfs(j, !c)) return false; } else if (color[j] == c) return false; } return true; } bool check() { memset(color, -1, sizeof color); bool flag = true; for (int i = 1; i <= n; i ++ ) if (color[i] == -1) if (!dfs(i, 0)) { flag = false; break; } return flag; }
匈牙利算法 —— 模板题 AcWing 861. 二分图的最大匹配
时间复杂度最坏是 O(nm)，实际运行时间一般远小于O(nm)， n 表示点数，m 表示边数
做错一件事，错过一件事
int n1, n2; // n1表示第一个集合中的点数，n2表示第二个集合中的点数 int h[N], e[M], ne[M], idx; // 邻接表存储所有边，匈牙利算法中只会用到从第二个集合指向第一个集合的边，所以这里只用存一个方向的边 int match[N]; // 存储第二个集合中的每个点当前匹配的第一个集合中的点是哪个 bool st[N]; // 表示第二个集合中的每个点是否已经被遍历过 bool find(int x) { for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i]) { int j = e[i]; if (!st[j]) { st[j] = true; if (match[j] == 0 || find(match[j])) { match[j] = x; return true; } } } return false; } // 求最大匹配数，依次枚举第一个集合中的每个点能否匹配第二个集合中的点 int res = 0; for (int i = 1; i <= n1; i ++ ) { memset(st, false, sizeof st); if (find(i)) res ++ ; }
作者：yxc
链接：https://www.acwing.com/blog/content/405/
来源：AcWing
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
第四章
试除法判定质数 —— 模板题 AcWing 866. 试除法判定质数
质数：大于1的整数中，如果只包含1和本身两个约束，称为质数（素数）
（1）判定，试除法
（2）分解质因数
bool is_prime(int x) { if (x < 2) return false; for (int i = 2; i <= x / i; i ++ ) if (x % i == 0) return false; return true; }
试除法分解质因数 —— 模板题 AcWing 867. 分解质因数
void divide(int x) { for (int i = 2; i <= x / i; i ++ ) if (x % i == 0) { int s = 0; while (x % i == 0) x /= i, s ++ ; cout << i << ' ' << s << endl; } if (x > 1) cout << x << ' ' << 1 << endl; cout << endl; }
朴素筛法求素数 —— 模板题 AcWing 868. 筛质数
int primes[N], cnt; // primes[]存储所有素数 bool st[N]; // st[x]存储x是否被筛掉 void get_primes(int n) { for (int i = 2; i <= n; i ++ ) { if (st[i]) continue; primes[cnt ++ ] = i; for (int j = i; j <= n; j += i) st[j] = true; } }
线性筛法求素数 —— 模板题 AcWing 868. 筛质数
被最小质因子筛掉
int primes[N], cnt; // primes[]存储所有素数 bool st[N]; // st[x]存储x是否被筛掉 void get_primes(int n) { for (int i = 2; i <= n; i ++ ) { if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i; for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ ) { st[primes[j] * i] = true; if (i % primes[j] == 0) break; } } }
试除法求所有约数 —— 模板题 AcWing 869. 试除法求约数
int范围内约数个数最多为1500个左右
vector<int> get_divisors(int x) { vector<int> res; for (int i = 1; i <= x / i; i ++ ) if (x % i == 0) { res.push_back(i); if (i != x / i) res.push_back(x / i); } sort(res.begin(), res.end()); return res; }
约数个数和约数之和 —— 模板题 AcWing 870. 约数个数, AcWing 871. 约数之和
如果 N = p1^c1 * p2^c2 * ... *pk^ck 约数个数： (c1 + 1) * (c2 + 1) * ... * (ck + 1) 约数之和： (p1^0 + p1^1 + ... + p1^c1) * ... * (pk^0 + pk^1 + ... + pk^ck)
欧几里得算法 —— 模板题 AcWing 872. 最大公约数
int gcd(int a, int b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; }
求欧拉函数 —— 模板题 AcWing 873. 欧拉函数
欧拉函数公式（容斥原理) : n(1-p1)(1-p2)...(1-pk)
int phi(int x) { int res = x; for (int i = 2; i <= x / i; i ++ ) if (x % i == 0) { res = res / i * (i - 1); while (x % i == 0) x /= i; } if (x > 1) res = res / x * (x - 1); return res; }
筛法求欧拉函数 —— 模板题 AcWing 874. 筛法求欧拉函数
O(n) 线性求所有数的欧拉函数
应用：欧拉定理：a与n互质 a^φ(n)=1(mod n)
int primes[N], cnt; // primes[]存储所有素数 int euler[N]; // 存储每个数的欧拉函数 bool st[N]; // st[x]存储x是否被筛掉 void get_eulers(int n) { euler[1] = 1; for (int i = 2; i <= n; i ++ ) { if (!st[i]) { primes[cnt ++ ] = i; euler[i] = i - 1; } for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ ) { int t = primes[j] * i; st[t] = true; if (i % primes[j] == 0) { euler[t] = euler[i] * primes[j]; break; } euler[t] = euler[i] * (primes[j] - 1); } } }
快速幂 —— 模板题 AcWing 875. 快速幂
求 m^k mod p，时间复杂度 O(logk)。
int qmi(int m, int k, int p) { int res = 1 % p, t = m; while (k) { if (k&1) res = res * t % p; t = t * t % p; k >>= 1; } return res; }
扩展欧几里得算法 —— 模板题 AcWing 877. 扩展欧几里得算法
// 求x, y，使得ax + by = gcd(a, b) int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) { if (!b) { x = 1; y = 0; return a; } int d = exgcd(b, a % b, y, x); y -= (a/b) * x; return d; }
高斯消元 —— 模板题 AcWing 883. 高斯消元解线性方程组
O(n^3)时间内解n个方程n个未知数的解。
解：无解 ； 无穷多组解 ； 唯一解 ；
- 完美阶梯型：唯一解
- 0=非零 ： 无解
- 0=0 ： 无穷多组解
高斯消元：
枚举每一列c：
- 找到绝对值最大的一行
- 将该行换到最上面
- 将该行第一个数变成1
- 将下面所有行的第c列消成0
// a[N][N]是增广矩阵 int gauss() { int c, r; for (c = 0, r = 0; c < n; c ++ ) { int t = r; for (int i = r; i < n; i ++ ) // 找到绝对值最大的行 if (fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c])) t = i; if (fabs(a[t][c]) < eps) continue; for (int i = c; i <= n; i ++ ) swap(a[t][i], a[r][i]); // 将绝对值最大的行换到最顶端 for (int i = n; i >= c; i -- ) a[r][i] /= a[r][c]; // 将当前上的首位变成1 for (int i = r + 1; i < n; i ++ ) // 用当前行将下面所有的列消成0 if (fabs(a[i][c]) > eps) for (int j = n; j >= c; j -- ) a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c]; r ++ ; } if (r < n) { for (int i = r; i < n; i ++ ) if (fabs(a[i][n]) > eps) return 2; // 无解 return 1; // 有无穷多组解 } for (int i = n - 1; i >= 0; i -- ) for (int j = i + 1; j < n; j ++ ) a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n]; return 0; // 有唯一解 }
递归法求组合数 —— 模板题 AcWing 885. 求组合数 I
十万 1<b<a<2000 O(n^2)
// c[a][b] 表示从a个苹果中选b个的方案数 for (int i = 0; i < N; i ++ ) for (int j = 0; j <= i; j ++ ) if (!j) c[i][j] = 1; else c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;
通过预处理逆元的方式求组合数 —— 模板题 AcWing 886. 求组合数 II
一万 1<b<a<10^5 O(logn)
首先预处理出所有阶乘取模的余数fact[N]，以及所有阶乘取模的逆元infact[N] 如果取模的数是质数，可以用费马小定理求逆元 int qmi(int a, int k, int p) // 快速幂模板 { int res = 1; while (k) { if (k & 1) res = (LL)res * a % p; a = (LL)a * a % p; k >>= 1; } return res; } // 预处理阶乘的余数和阶乘逆元的余数 fact[0] = infact[0] = 1; for (int i = 1; i < N; i ++ ) { fact[i] = (LL)fact[i - 1] * i % mod; infact[i] = (LL)infact[i - 1] * qmi(i, mod - 2, mod) % mod; }
Lucas定理 —— 模板题 AcWing 887. 求组合数 III
组合数，1<b<a
若p是质数，则对于任意整数 1 <= m <= n，有： C(n, m) = C(n % p, m % p) * C(n / p, m / p) (mod p) int qmi(int a, int k) // 快速幂模板 { int res = 1; while (k) { if (k & 1) res = (LL)res * a % p; a = (LL)a * a % p; k >>= 1; } return res; } int C(int a, int b) // 通过定理求组合数C(a, b) { int res = 1; for (int i = 1, j = a; i <= b; i ++, j -- ) { res = (LL)res * j % p; res = (LL)res * qmi(i, p - 2) % p; } return res; } int lucas(LL a, LL b) { if (a < p && b < p) return C(a, b); return (LL)C(a % p, b % p) * lucas(a / p, b / p) % p; }
分解质因数法求组合数 —— 模板题 AcWing 888. 求组合数 IV
当我们需要求出组合数的真实值，而非对某个数的余数时，分解质因数的方式比较好用：
1. 筛法求出范围内的所有质数 2. 通过 C(a, b) = a! / b! / (a - b)! 这个公式求出每个质因子的次数。 n! 中p的次数是 n / p + n / p^2 + n / p^3 + ... 3. 用高精度乘法将所有质因子相乘 int primes[N], cnt; // 存储所有质数 int sum[N]; // 存储每个质数的次数 bool st[N]; // 存储每个数是否已被筛掉 void get_primes(int n) // 线性筛法求素数 { for (int i = 2; i <= n; i ++ ) { if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i; for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ ) { st[primes[j] * i] = true; if (i % primes[j] == 0) break; } } } int get(int n, int p) // 求n！中的次数 { int res = 0; while (n) { res += n / p; n /= p; } return res; } vector<int> mul(vector<int> a, int b) // 高精度乘低精度模板 { vector<int> c; int t = 0; for (int i = 0; i < a.size(); i ++ ) { t += a[i] * b; c.push_back(t % 10); t /= 10; } while (t) { c.push_back(t % 10); t /= 10; } return c; } get_primes(a); // 预处理范围内的所有质数 for (int i = 0; i < cnt; i ++ ) // 求每个质因数的次数 { int p = primes[i]; sum[i] = get(a, p) - get(b, p) - get(a - b, p); } vector<int> res; res.push_back(1); for (int i = 0; i < cnt; i ++ ) // 用高精度乘法将所有质因子相乘 for (int j = 0; j < sum[i]; j ++ ) res = mul(res, primes[i]);
卡特兰数 —— 模板题 AcWing 889. 满足条件的01序列
给定n个0和n个1，它们按照某种顺序排成长度为2n的序列，满足任意前缀中0的个数都不少于1的个数的序列的数量为：
容斥原理
找1~n中能至少被素数p1,p2,...,pn一个整除的整数有多少个。
位运算对应容斥原理集合，1~n中能被x整除的个数为n/x，奇数加上，偶数减去
NIM游戏 —— 模板题 AcWing 891. Nim游戏
给定N堆物品，第i堆物品有Ai个。两名玩家轮流行动，每次可以任选一堆，取走任意多个物品，可把一堆取光，但不能不取。取走最后一件物品者获胜。两人都采取最优策略，问先手是否必胜。
我们把这种游戏称为NIM博弈。把游戏过程中面临的状态称为局面。整局游戏第一个行动的称为先手，第二个行动的称为后手。若在某一局面下无论采取何种行动，都会输掉游戏，则称该局面必败。
所谓采取最优策略是指，若在某一局面下存在某种行动，使得行动后对面面临必败局面，则优先采取该行动。同时，这样的局面被称为必胜。我们讨论的博弈问题一般都只考虑理想情况，即两人均无失误，都采取最优策略行动时游戏的结果。
NIM博弈不存在平局，只有先手必胜和先手必败两种情况。
定理： NIM博弈先手必胜，当且仅当 A1 ^ A2 ^ … ^ An != 0
公平组合游戏ICG
若一个游戏满足：
由两名玩家交替行动；
在游戏进程的任意时刻，可以执行的合法行动与轮到哪名玩家无关；
不能行动的玩家判负；
则称该游戏为一个公平组合游戏。
NIM博弈属于公平组合游戏，但城建的棋类游戏，比如围棋，就不是公平组合游戏。因为围棋交战双方分别只能落黑子和白子，胜负判定也比较复杂，不满足条件2和条件3。
有向图游戏
给定一个有向无环图，图中有一个唯一的起点，在起点上放有一枚棋子。两名玩家交替地把这枚棋子沿有向边进行移动，每次可以移动一步，无法移动者判负。该游戏被称为有向图游戏。
任何一个公平组合游戏都可以转化为有向图游戏。具体方法是，把每个局面看成图中的一个节点，并且从每个局面向沿着合法行动能够到达的下一个局面连有向边。
Mex运算
设S表示一个非负整数集合。定义mex(S)为求出不属于集合S的最小非负整数的运算，即：
mex(S) = min{x}, x属于自然数，且x不属于S
SG函数
在有向图游戏中，对于每个节点x，设从x出发共有k条有向边，分别到达节点y1, y2, …, yk，定义SG(x)为x的后继节点y1, y2, …, yk 的SG函数值构成的集合再执行mex(S)运算的结果，即：
SG(x) = mex({SG(y1), SG(y2), …, SG(yk)})
特别地，整个有向图游戏G的SG函数值被定义为有向图游戏起点s的SG函数值，即SG(G) = SG(s)。
int sg(int x){ if (f[x] != -1) return f[x]; unordered_set<int> S; for(int i = 0; i < m; i++ ) { int sum = s[i]; if (x >= sum) S.insert(sg(x - sum)); } for (int i=0; ; i++ ) if (!S.count(i)) return f[x] = i; }
有向图游戏的和 —— 模板题 AcWing 893. 集合-Nim游戏
设G1, G2, …, Gm 是m个有向图游戏。定义有向图游戏G，它的行动规则是任选某个有向图游戏Gi，并在Gi上行动一步。G被称为有向图游戏G1, G2, …, Gm的和。
有向图游戏的和的SG函数值等于它包含的各个子游戏SG函数值的异或和，即：
SG(G) = SG(G1) ^ SG(G2) ^ … ^ SG(Gm)
定理
有向图游戏的某个局面必胜，当且仅当该局面对应节点的SG函数值大于0。
有向图游戏的某个局面必败，当且仅当该局面对应节点的SG函数值等于0。
作者：yxc
链接：https://www.acwing.com/blog/content/406/
来源：AcWing
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
动态规划
常见模型
背包 九讲
01背包
每件物品可以用一次
for(int i=1;i<=N;i++){ for(int j=V;j>=w[i];j--){ f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]); } }
完全背包
每件物品可以用无限次
for(int i=1;i<=N;i++){ for(int j=w[i];j<=V;j++){ f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]); } }
多重背包
每件物品特定次
二进制优化
for(int i=1;i<=N;i++){ cin>>a>>b>>c; //权重a,价值b，数量c int k=1; while(k<=c){ cnt++; c-=k; w[cnt]=k*a; v[cnt]=k*b; k*=2; } if(c){ cnt++; w[cnt]=c*a; v[cnt]=c*b; } } //之后用01背包
单调队列优化
分组背包
一组只能选一个
for(int i=1;i<=N;i++){ for(int j=V;j>=0;j--){ for(int k=1;k<=s[i];k++){ if(w[i][k]<=j){ f[j]=max(f[j],f[j- w[i][k] ]+v[i][k]); } } } }
线性dp
数字三角形
for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<=i;j++){ a[i][j]+=max(a[i-1][j],a[i-1][j-1]); } }
LIS
for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<i;j++){ if(a[j]<a[i]) f[i]=max(f[j]+1,f[i]); } } for(int i=1;i<=n;i++){ ma=max(f[i],ma); }
LCS
for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<=m;j++){ f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]); if(a[i]==b[j]) f[i][j]=f[i-1][j-1]+1; } }
区间dp
石子合并
for(int len=2;len<=n;len++){ for(int i=1;i+len-1<=n;i++){ int l=i,r=i+len-1; f[l][r]=0x for(int k=i;k<r;k++){ f[l][r]=min(f[l][r],f[l][k]+f[k+1][r]+s[r]-s[l-1]); } } } cout<<f[1][n];
数位统计dp
状态表示
分情况讨论
状态压缩 dp
蒙德里安的梦想
最短Hamilton距离
树形dp
没有上司的舞会
记忆化
滑雪
搜索
