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傻子坐飞机的问题：100个人排队乘坐有100个座位的飞机，正常情况时每个都都会对号入坐，但是，第一个上飞机的是个傻子，他随机坐了一个位子，接下来的人上飞机时，如果自己座位被人坐了就会随机找个座位坐下，否则就坐自己坐位。问题：最后一个上飞机的人坐到自己座位的概率是多少？
解题思路：
其实这道题目可以归类到递归中，说到这里，可能好多人不太理解，怎么和递归扯上关系了。递归思路的关键就是一句话"傻子是可以传递的"，只要能想明白这句话，题目就迎刃而解。设n个傻子坐飞机的概率是F（n），那么题目的解就是求F（100）的值。
首先假设有题目中的不是100个人，而是n个人，第一个上飞机的是个傻子，他坐到自己座位上的概率是1/n，这是剩下的n-1个都是正常人，他们的座位都没有被占，所以他们100%会全部坐到自己的座位，即在这种情况下最后一个坐到自己座位的概率是1/n.
另外一种情况是这个傻子坐到了最后一个人的位置，那么剩下的人无论怎么坐最后一个人都不会坐到自己的位置，这种情况的概率是0;
第三种情况是傻子坐到了其余n-2个人的座位上，例如他坐到了第m个人的位置（1 < m < 100，概率都是1/n），那么2---m-1号的人都会坐到自己的位置上，因为自己的位置没有人坐。而第m个人由于自己的座位被第一个傻子坐了，所以他要随即坐，这是我们可以他第m个人看做是一个傻子，因为这种情况下他的表现和傻子是一样的，因此这种情况下的概率是1/n*F（n-m+1），即把剩下的n-m+1个人看做是一个n-m+1个人规模的傻子坐飞机的问题。
综上三种情况：这个问题的解就是 F(n)=1/n+0+(F(n-1)+F(n-2)+...+F(2))/n;
看到上述的递推公式出来了，那么题目也就可以解决了。可是等等，我们要求的结果是F(100)，而F(100)=1/100+
(F(99)+F(98)+...+F(2))/100,如果按照这个递归公式展开，而F（99）=1/99+(F(98)+F(97)+...+F(2)/99，而且F(98)，F(97)每个展开都会产生很多个函数调用，这样的话你的内存马上就有可能耗空。那么如何解决这个问题呢，难道眼睁睁的看着到手的鸭子就让它飞了。当然不行了。
如果你对算法理解稍微深点，主要是循环，也许你马上就能提出一个解决的方法。对了，就是从F(2)开始计算，依次计算F(2)，F(3)。。。F(100)，每次把求得的结果存到一个数组里，那么比如知道了F(2)到F(9)的值，他们依次存在一个数组f[2],f[3]...,f[9]，那么在求F(10)= 1/10+(F(9)+F(8)+...+F(2))/10的时候就不用依次递归来调用求F(9)，F(8)的值了，只要依次查找数组f[2],f[3]....f[9]的值代替就好了。
相信看到上面一步好多人已经感觉很不错了，至少内存的问题解决了，那么能不能进一步化简呢？当然能了，只要仔细观察下表达式就能发现问题所在了，每次求F(n)其实最麻烦的就是求后面括号里几项和，刚才我们用数组存储结果来表达上述的值简化了循环调用的麻烦，可是我们发现后几项的和总是从F(2)加起，一直加到F(n-1)，所以我们不用每次都计算f[2]+f[3]+...+f[n-1]，主要用一个变量例如temp来保存当前的f[2]+f[3]+...f[n-1]即可，那么在计算F(n+1)的时候，我们只要在temp的基础上加上f(n)的值就可以得到f[2]+f[3]+...+f[n]即可。
题目到此为止了吗？也许你说只要写个小的程序就可以很快知道结果了，可是我可以直接和你说出答案来，不用运行程序，你随便给我一个大一些的，比如1000个人坐飞机，我也可以马上告诉你答案，呵呵。你知道为什么吗？也许有的人已经猜出来了，不是我比较牛，而是答案比较特殊。答案就是1/2!
为什么呢？学过数学归纳法吗？对了，就是用数学归纳法，对于很多的问题，如果我们已经能推出问题的表达式，但是无法证明的时候，我们很多时候用的都是数学归纳法。
证明过程:
1.n=2时，傻子坐到自己位置的概率是1/2，剩下一个人坐到自己的位置，概率1/2.傻子坐到第二个人的位置的时候，最后一个人总不能坐到自己的座位，概率0.因此F（2）=1/2;
2.假设F（2）=F（3）=。。。=F（n-1）=1/2,那么F（n）=1/n+(F(n-1)+F(n-2)+...+F(2))/n.由于F（2）=F（3）=。。。=F（n-1）=1/2，所以F（n）=1/n+(1/2+1/2+...+1/2)/n;（注：括号中共有n-2个1/2），因此可以得到F（n）=1/n+(1/2*(n-2))/n=1/2;
3.所以F（n）=1/2 （当n >= 2时）成立
证明结束！
题目总结：
1.回顾下该题目，首先把这道题能够分解成很多小的问题，找到递归的思路。
2.然后涉及到了一个将递归的程序转换成非递归的问题，这种思路我们平时解题的时候也经常根据具体条件来使用。
3.剩下对于题目的简化就完全是观察的结果，根据题目的特殊表达式进行优化，这个是很有必要的。有的时候，好的
优化可以大大减少计算的复杂度，提高算法的效率。
4.最后数学归纳法也是以前证明问题常用的解法。
所以，好多很复杂的问题都有非常简单美观的输出，这正是算法的魅力！
感谢原作者这么清晰地把解题思路写出来，附原文地址：http://celebration.javaeye.com/blog/212517
其实这个题目是一个典型的概率题，可以从反方向来考虑，即求第N个人无法坐下来的几率~~~
另外附问题的源码：http://blog.csdn.net/alex197963/archive/2007/05/11/1604459.aspx
