[算法经典] 约瑟夫环问题
原文链接：https://blog.csdn.net/u011500062/article/details/72855826
约瑟夫问题
约瑟夫问题是个著名的问题：N个人围成一圈，第一个人从1开始报数，报M的将被杀掉，下一个人接着从1开始报。如此反复，最后剩下一个，求最后的胜利者。
例如只有三个人，把他们叫做A、B、C，他们围成一圈，从A开始报数，假设报2的人被杀掉。
●首先A开始报数，他报1。侥幸逃过一劫。
●然后轮到B报数，他报2。非常惨，他被杀了
●C接着从1开始报数
●接着轮到A报数，他报2。也被杀死了。
●最终胜利者是C
解决方案
普通解法
刚学数据结构的时候，我们可能用链表的方法去模拟这个过程，N个人看作是N个链表节点，节点1指向节点2，节点2指向节点3，……，节点N-1指向节点N，节点N指向节点1，这样就形成了一个环。然后从节点1开始1、2、3……往下报数，每报到M，就把那个节点从环上删除。下一个节点接着从1开始报数。最终链表仅剩一个节点。它就是最终的胜利者。
缺点：
要模拟整个游戏过程，时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。
公式法
约瑟夫环是一个经典的数学问题，我们不难发现这样的依次报数，似乎有规律可循。为了方便导出递推式，我们重新定义一下题目。
问题： N个人编号为1，2，……，N，依次报数，每报到M时，杀掉那个人，求最后胜利者的编号。
这边我们先把结论抛出了。之后带领大家一步一步的理解这个公式是什么来的。
递推公式：
f(N,M)=(f(N−1,M)+M)%N
- 1
●f(N,M)表示，N个人报数，每报到M时杀掉那个人，最终胜利者的编号
●f(N−1,M)表示，N-1个人报数，每报到M时杀掉那个人，最终胜利者的编号
下面我们不用字母表示每一个人，而用数字。
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11
表示11个人，他们先排成一排，假设每报到3的人被杀掉。
●刚开始时，头一个人编号是1，从他开始报数，第一轮被杀掉的是编号3的人。
●编号4的人从1开始重新报数，这时候我们可以认为编号4这个人是队伍的头。第二轮被杀掉的是编号6的人。
●编号7的人开始重新报数，这时候我们可以认为编号7这个人是队伍的头。第三轮被杀掉的是编号9的人。
●……
●第九轮时，编号2的人开始重新报数，这时候我们可以认为编号2这个人是队伍的头。这轮被杀掉的是编号8的人。
●下一个人还是编号为2的人，他从1开始报数，不幸的是他在这轮被杀掉了。
●最后的胜利者是编号为7的人。
下图表示这一过程（先忽视绿色的一行）
现在再来看我们递推公式是怎么得到的！
将上面表格的每一行看成数组，这个公式描述的是：幸存者在这一轮的下标位置
●f(1,3)：只有1个人了，那个人就是获胜者，他的下标位置是0
●f ( 2 , 3 ) = ( f ( 1 , 3 ) + 3 ) % 2 = 3 % 2 = 1 f(2,3)=(f(1,3)+3)%2=3%2=1f(2,3)=(f(1,3)+3)%2=3%2=1：在有2个人的时候，胜利者的下标位置为1
●f ( 3 , 3 ) = ( f ( 2 , 3 ) + 3 ) % 3 = 4 % 3 = 1 f(3,3)=(f(2,3)+3)%3=4%3=1f(3,3)=(f(2,3)+3)%3=4%3=1：在有3个人的时候，胜利者的下标位置为1
●f ( 4 , 3 ) = ( f ( 3 , 3 ) + 3 ) % 4 = 4 % 4 = 0 f(4,3)=(f(3,3)+3)%4=4%4=0f(4,3)=(f(3,3)+3)%4=4%4=0：在有4个人的时候，胜利者的下标位置为0
●……
f● ( 11 , 3 ) = 6 f(11,3)=6f(11,3)=6
很神奇吧！现在你还怀疑这个公式的正确性吗？上面这个例子验证了这个递推公式的确可以计算出胜利者的下标，下面将讲解怎么推导这个公式。
问题1： 假设我们已经知道11个人时，胜利者的下标位置为6。那下一轮10个人时，胜利者的下标位置为多少？
答： 其实吧，第一轮删掉编号为3的人后，之后的人都往前面移动了3位，胜利这也往前移动了3位，所以他的下标位置由6变成3。
问题2： 假设我们已经知道10个人时，胜利者的下标位置为3。那下一轮11个人时，胜利者的下标位置为多少？
答： 这可以看错是上一个问题的逆过程，大家都往后移动3位，所以f ( 11 , 3 ) = f ( 10 , 3 ) + 3 f(11,3)=f(10,3)+3f(11,3)=f(10,3)+3。不过有可能数组会越界，所以最后模上当前人数的个数，f ( 11 , 3 ) = （ f ( 10 , 3 ) + 3 ） % 11 f(11,3)=（f(10,3)+3）%11f(11,3)=（f(10,3)+3）%11
问题3： 现在改为人数改为N，报到M时，把那个人杀掉，那么数组是怎么移动的？
答： 每杀掉一个人，下一个人成为头，相当于把数组向前移动M位。若已知N-1个人时，胜利者的下标位置位f ( N − 1 , M ) f(N-1,M)f(N−1,M)，则N个人的时候，就是往后移动M为，(因为有可能数组越界，超过的部分会被接到头上，所以还要模N)，既f ( N , M ) = ( f ( N − 1 , M ) + M ) % n f(N,M)=(f(N-1,M)+M)%nf(N,M)=(f(N−1,M)+M)%n
注：理解这个递推式的核心在于关注胜利者的下标位置是怎么变的。每杀掉一个人，其实就是把这个数组向前移动了M位。然后逆过来，就可以得到这个递推式。
因为求出的结果是数组中的下标，最终的编号还要加1
下面给出代码实现：
class Solution {
public int findTheWinner(int n, int k) {
int p = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
p = (p + k) % i;
}
return p + 1;
}
} 版权声明：本文为CSDN博主「陈浅墨」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
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原文链接：https://blog.csdn.net/qq_40692274/article/details/124592025
【前言】本文讨论经典算法问题约瑟夫环问题的递归解法。
一、问题描述
作为算法中的经典问题，约瑟夫环问题自诞生以来有各种各样的变种描述，丢手绢、游戏获胜者、圆圈中最后剩下的数字、点名游戏等等，但都是同样的数学模型和解题思路。为了讨论该问题，现在将其统一描述如下：
0 , 1 , … , n-1 这 n 个数字围成一个圆，从数字 0 开始，每次从这个圆里删除第 m 个数字（删除后从下一个数字开始重新计数）。求这个圆圈里剩下的最后一个数字是多少。
样例
输入：int n = 6, int m = 3
输出：int ret = 0
讲解：
0, 1, 2, 3, 4, 5 从0开始删除第3个数字，012，2退出
0, 1, 3, 4, 5 从3开始删除第3个数字，345，5退出
0, 1, 3, 4 从0开始删除第3个数字，013，3退出
0, 1, 4 从4开始删除第3个数字，401，1退出
0, 4 从4开始删除第3个数字，404，4退出
0是最后剩下的数字
二、递归解法
本文不再讲解 数组模拟 的解法，直接讨论递归法。约定用记号f(n,m)表示n个数、每次删除第m个时该问题的解，例如由上述样例就有f(6,3)=0。
1、思路分析
我们再来仔细推演f(6,3)的计算过程，“ 0, 1, 2, 3, 4, 5 ”在第一轮中有6个数字，删除从0开始的第3个数字“ 2 ”以后剩下“ 0, 1, 3, 4, 5 ”。接着的第二轮中还有5个数字，要从“ 3 ”开始继续删除第3个数字，由于这些数字围成一个圆，我们不妨把“ 0, 1 ”放在“ 3, 4, 5 ”的后面变成“ 3, 4, 5, 0, 1 ”方便计算。
调整位置后，第2轮的f(6,3)不禁我们联想到f(5,3)，f(5,3)第1轮和f(6,3)第2轮同样有5个数字、同样从第1个位置开始删除第3个数字，换言之，他们要删除的元素位置是一样的，不一样的仅仅是位置上的值。只要我们能找到相同位置上值的关系，就能通过f(5,3)求出f(6,3)、f(4,3)求出f(5,3)、f(3,3)求出f(4,3)，直到利用f(1,3)=0回溯。
观察后发现，f(5,3)中的0对应f(6,3)的3、1对应4、2对应5、3对应0、4对应1，也即f(6,3) = ( f(5,3)+3 ) % 6。如果继续列举就会进一步发现：f(5,3) = ( f(4,3)+3 ) % 6、f(4,3) = ( f(3,3)+3 ) % 6…由此我们就找到了f(n,m)的通项公式为
f(n,m) = ( f(n-1,m)+m ) % n 直到f(1,m)=0
利用这个公式，我们可以很容易地使用递归法解决约瑟夫环问题。
2、源代码
private int lastNum(int n, int m)
{
if (n==1)
return 0;
return ( lastNum(n-1,m)+m ) % n;
}
3、复杂度分析
时间复杂度：O(n) 对n个数要计算n次f(n,m)
空间复杂度：O(n) 计算n次f(n,m)时递归n-1次
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