欧拉函数学习笔记

如何求欧拉函数~转载

三、欧拉函数

 

请思考以下问题：

任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？（比如，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系？）

计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以φ(n)表示。在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。

φ(n) 的计算方法并不复杂，但是为了得到最后那个公式，需要一步步讨论。

第一种情况

如果n=1，则 φ(1) = 1 。因为1与任何数（包括自身）都构成互质关系。

第二种情况

如果n是质数，则 φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数，都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。

第三种情况

如果n是质数的某一个次方，即 n = p^k (p为质数，k为大于等于1的整数)，则

比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4。

这是因为只有当一个数不包含质数p，才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^(k-1)个，即1×p、2×p、3×p、...、p^(k-1)×p，把它们去除，剩下的就是与n互质的数。

上面的式子还可以写成下面的形式：

可以看出，上面的第二种情况是 k=1 时的特例。

第四种情况

如果n可以分解成两个互质的整数之积，

n = p1 × p2

则

φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)

即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如，φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。

这一条的证明要用到"中国剩余定理"，这里就不展开了，只简单说一下思路：如果a与p1互质(a<p1)，b与p2互质(b<p2)，c与p1p2互质(c<p1p2)，则c与数对 (a,b) 是一一对应关系。由于a的值有φ(p1)种可能，b的值有φ(p2)种可能，则数对 (a,b) 有φ(p1)φ(p2)种可能，而c的值有φ(p1p2)种可能，所以φ(p1p2)就等于φ(p1)φ(p2)。

第五种情况

因为任意一个大于1的正整数，都可以写成一系列质数的积。

根据第4条的结论，得到

再根据第3条的结论，得到

也就等于

这就是欧拉函数的通用计算公式。比如，1323的欧拉函数，计算过程如下：

 

转载地址：https://blog.csdn.net/qq_41835449/article/details/86660763

 

# [SDOI2008] 沙拉公主的困惑

## 题目描述

大富翁国因为通货膨胀，以及假钞泛滥，政府决定推出一项新的政策：现有钞票编号范围为 1 到 N 的阶乘，但是，政府只发行编号与 M! 互质的钞票。房地产第一大户沙拉公主决定预测一下大富翁国现在所有真钞票的数量。现在，请你帮助沙拉公主解决这个问题，由于数量可能非常大，你只需计算出答案对 R 取模后的结果即可。

 

## 输入格式

第一行为两个整数 T 和 R，其中 T 为该组中测试数据数目，R 为模数。

接下来 T 行，每行一对整数 N 和 M，具体意义见题目描述。

 

## 输出格式

共 T 行，对于每一对 N 和 M，输出 [1,N!] 中与 M! 互质的数的数量对 R 取模后的值。

 

## 样例 #1

### 样例输入 #1

```
1 11
4 2
```

### 样例输出 #1

```
1
```

 

## 提示

对于 100% 的数据，1≤M≤N≤10⁷，1≤T≤10⁴，2≤R≤10⁹+10 且 R 为质数。

 

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 10000010
typedef long long ll;
int R,N,M,cntp[maxn],idx=0;
int jc[maxn],inv[maxn],g[maxn],ph[maxn];
bool pr[maxn];
void is_prime()//埃拉托色尼筛法
{
    for(int i=3;i<=1e7;i+=2)
        if(pr[i])
        {
            cntp[++idx]=i;
            if(1ll*i*i>1e7)    continue;
            for(int j=i*i;j<=1e7;j+=i)
                pr[j]=0;
        }
}
int qpow(int x,int p)
{
    int res=1;
    for( ;p;p>>=1,x=1ll*x*x%R)
        if(p&1)    res=1ll*res*x%R;
    return res;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
 
    int T;
    cin>>T>>R;
 
    pr[2]=1;//筛质数
    cntp[++idx]=2;//少了这步，遗臭千年
    for(int i=3;i<=1e7;i+=2)    pr[i]=1;
    is_prime();//我的埃筛怎么那么容易出bug
 
    jc[0]=jc[1]=inv[0]=inv[1]=1;//思考为什么inv[0]=1  : 定义(0!)=1
    g[0]=g[1]=1;
    for(int i=2;i<=1e7;i++)
    {
        int x=i;
        while(x%R==0)    x/=R;//把R除去
        jc[i]=1ll*jc[i-1]*x%R;//线性求阶乘
 
//        inv[i]=1ll*(R-R/x)*inv[R%x]%R;//线性求逆元
 
        x=i-pr[i];//根据素数为i-1,合数为i
        while(x%R==0)    x/=R;//把R除去
        g[i]=1ll*g[i-1]*x%R;//phi(M!)
    }
    while(T--)
    {
        cin>>N>>M;
        if(N/R>M/R)    cout<<"0"<<'\n';//特判:N!中的R因子比M!多
        else    cout<<1ll*jc[N]*g[M]%R*qpow(jc[M],R-2)%R<<'\n';
//        else     cout<<1ll*jc[N]*inv[M]%R*g[M]%R<<'\n';
    }
    return 0;
}

下次再打。。。