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多边形面积和点串序列判断

下面讲解以上图逆时针序列三角形ABC为例,进行推导和讲解:

A(x1,y1)    B(x2,y2)    C(x3,y3)

S为三角形ABC的面积,Sm1为直角梯形AA'B'B的面积,Sm2为直角梯形BB'C'C的面积,Sn1为直角梯形AA'C'C的面积

容易得知:S =-(Sm1+Sm2) + Sn1

-Sm1 = (x1-x2)(y1+y2)/2 = (x1*y1+x1*y2-x2*y1-x2*y2)/2

-Sm2 = (x2-x3)(y2+y3)/2 = (x2*y2+x2*y3-x3*y2-x3*y3)/2

  Sn1 = (x3-x1)(y1+y3)/2 = (x3*y1+x3*y3-x1*y1-x1*y3)/2

S = [(x1*y2-x2*y1)+(x2*y3-x3*y2)+(x3*y1-x1*y3)]/2

-------------------------------------------------------------------------

推导到一般,算法描述:

令:n条边的多边形的点串数组为:P[n+1] = {p=(x,y)},规定:P[n] = P[0].

则该多边形的面积为:

若S>0,则点串为逆时针存放

若S<0,则点串为顺时针存放

若S=0,无法判断点串的序列方向

-------------------------------------------------------------------------

注意:多边形必须满足以下条件才可使用该算法公式计算面积。

(1)凸多边形

(2)向x轴投影后的顶点的先后顺序与原形点顺序保持一致

       如下图:从最小X值M点和最大X值N点将多边形分成两半,将两条折线段命名为:MN(上)  MN(下)

       MN(上)  MN(下)上的各个形点分别向x轴做投影;

       若MN(上)  MN(下)投影后的顶点的先后顺序与折线段形点顺序均保持一致,则该多边形可使用该方法计算面积。

(3)向y轴投影后的顶点的先后顺序与原形点顺序保持一致

       如下图:从最小Y值N点和最大Y值M点将多边形分成两半,将两条折线段命名为:MN(左)  MN(右)

       MN(左)  MN(右)上的各个形点分别向y轴做投影;

       若MN(左)  MN(右)投影后的顶点的先后顺序与折线段形点顺序均保持一致,则该多边形可使用该方法计算面积。

(4)不满足(2)(3)条件的凹多边形不能直接使用该公式计算面积(如下图)

对于求任意多边形面积通用的做法是:

a. 首先将多边形进行Delaunay三角剖分

b. 然后求各个三角形的面积

c. 最后对这些面积进行求和

例如可将(4)中的多边形先进行三角剖分:

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