一个人的数论[莫比乌斯反演+拉格朗日插值]

看了半天巨神 \(\color{red}{C}\color{black}{Yjian}\) 的题解才终于想明白。

规定变量：

• 题中\(d\to k\)
• 题中\(n\to m\) (下文的 \(n\) 只作未知数

令 \(F(n)=\sum_{i=1}^ni^k\) ， \(g(n)=\sum_{i=1}^ni^k[\gcd(n,i)=1]\) ，那么莫比乌斯反演，有

\[F(n)=\sum_{d|n}d^kg(\frac{n}{d})\Leftrightarrow g(n)=\sum_{d|n}\mu(d)d^kF(\frac{n}{d}) \]

且最终答案即为 \(g(m)\) 。

发现 \(F(n)\) 为一个 \(k+1\) 次多项式，即有 \(F(n)=\sum_{i=0}^{k+1}f_in^i\) 。把他代入上式。

\[g(n)=\sum_{d|n}\mu(d)d^k\sum_{i=0}^{k+1}f_i(\frac{n}{d})^i \]

\[g(n)=\sum_{i=0}^{k+1}f_in^i\sum_{d|n}\mu(d)d^{k-i} \]

\(\mu(d)d^{k-i}\) 在 \(d\) 做参数时为积性函数，所以将 \(n\) 分解为 \(\prod_{p_i}p_i^{a_i}\) 后，式子可以写成

\[g(n)=\sum_{i=0}^{k+1}f_in^i\prod_{p_j}\sum_{l=0}^{a_i}\mu(p_j^{l})p_j^{l(k-i)} \]

而 \(\mu(p_i^{a_i})\) 在 \(a_i>1\) 时取 \(0\) ，因此只考虑 \(l=0\) 与 \(l=1\) 即可。因此

\[g(n)=\sum_{i=0}^{k+1}f_in^i\prod_{p_j}(1-p_j^{k-i}) \]

题目给出的 \(m\) 就是以质因子的形式输入的。直接拉格朗日暴力插出多项式系数计算就好。

Talk is Code(?

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

namespace IO{
    typedef long long LL;
    typedef double DB;
    #define int LL
    int read(){
        int x=0,f=0; char ch=getchar();
        while(ch>'9'||ch<'0'){ f|=(ch=='-'); ch=getchar(); }
        while(ch>='0'&&ch<='9'){ x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); }
        return f?-x:x;
    } char output[50];
    void write(int x,char sp){
        int len=0;
        if(x<0) putchar('-'), x=-x;
        do{ output[len++]=x%10+'0'; x/=10; }while(x);
        for(int i=len-1;~i;i--) putchar(output[i]); putchar(sp);
    }
    void ckmax(int& x,int y){ x=x>y?x:y; }
    void ckmin(int& x,int y){ x=x<y?x:y; }
} using namespace IO;

const int NN=1010,mod=1e9+7;
int n,k,m,ans,p[NN];

namespace Mathematics{
    int len,x[NN],y[NN],a[NN],f[NN];
    int qpow(int a,int b,int res=1){
        for(;b;b>>=1,a=a*a%mod)
            if(b&1) res=res*a%mod;
        return res;
    }
    void poly_mul(int x,int y){
        ++len;
        for(int i=len;i;i--)
            a[i]=(a[i]*y+a[i-1]*x)%mod;
        a[0]=a[0]*y%mod;
    }
    void poly_pls(){
        for(int i=0;i<=len;i++)
            f[i]=(f[i]+a[i])%mod, a[i]=0;
        len=0; a[0]=1;
    }
    void numb_mul(int x){
        for(int i=0;i<=len;i++)
            a[i]=a[i]*x%mod;
    }
    void poly_calc(int k){
        a[0]=1;
        for(int mul,i=1;i<=k+2;i++){
            mul=qpow(y[i],mod-2);
            for(int j=1;j<=k+2;j++) if(i^j){
                poly_mul(1,mod-x[j]);
                mul=mul*(mod+x[i]-x[j])%mod;
            }
            numb_mul(qpow(mul,mod-2)); poly_pls();
        }
    }
} using namespace Mathematics;

signed main(){
    k=read(); n=read(); m=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        p[i]=read(), m=m*qpow(p[i],read())%mod;
    for(int i=1;i<=k+2;i++)
        x[i]=i, y[i]=(y[i-1]+qpow(x[i],k))%mod;
    poly_calc(k);
    for(int tmp=m,i=1;i<=k+1;i++){
        int res=tmp*f[i]%mod;
        tmp=tmp*m%mod;
        for(int j=1;j<=n;j++)
            res=res*(1+mod-qpow(p[j],mod-1+k-i))%mod;
        ans=(ans+res)%mod;
    }
    write(ans,'\n');
    return 0;
}