2021.8.3考试总结[NOIP模拟29]
T1 最长不下降子序列
数据范围$1e18$很不妙，但模数$d$只有$150$，考虑从这里突破。
计算的式子是个二次函数，结果只与上一个值有关，而模$d$情况下值最多只有$150$个，就证明序列会出现循环。
发现每个循环节的贡献之可能是$1$或$2$（考场没考虑到贡献$2$的情况直接爆$0$），并且贡献为$2$的情况（$1$个相等，$1$个大于）最多只有循环节长度$len$个。
那么就可以把贡献为$1$的循环节拎出来不计算，树装数组计算剩余的序列，最后加和即可。
$code:$
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define int long long 3 using namespace std; 4 int t,n,a,b,c,d,cc[200],tmp,ans,len,pre[200],st; 5 inline int lowbit(int x){ return x&(-x); } 6 inline int read(){ 7 int x=0,f=1; char ch=getchar(); 8 while(ch<'0'||ch>'9'){ if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); } 9 while(ch>='0'&&ch<='9'){ x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); } 10 return x*f; 11 } 12 inline void write(int x){ 13 char ch[20]; int len=0; 14 if(x<0) x=~x+1, putchar('-'); 15 do{ 16 ch[len++]=x%10+(1<<5)+(1<<4); 17 x/=10; 18 }while(x); 19 for(int i=len-1;i>=0;--i) putchar(ch[i]); 20 } 21 inline void insert(int x,int pos){ 22 while(pos<=150){ 23 cc[pos]=max(cc[pos],x); 24 pos+=lowbit(pos); 25 } 26 } 27 inline int query(int pos){ 28 int res=0; 29 while(pos){ 30 res=max(res,cc[pos]); 31 pos-=lowbit(pos); 32 } 33 return res; 34 } 35 signed main(){ 36 n=read(); t=read(); a=read(); b=read(); c=read(); d=read(); 37 if(n>1000000){ 38 tmp=t; pre[t]=1; tmp%=d; 39 for(int i=2;i<=n;i++){ 40 tmp=(tmp*tmp*a%d+tmp*b%d+c)%d; 41 if(pre[tmp]){ len=i-pre[tmp]; st=pre[tmp]-1; break; } 42 pre[tmp]=i; 43 } 44 ans=(n-st)/len-150; 45 n=st+len*150+(n-st)%len; 46 } 47 tmp=t; insert(1,tmp+1); tmp%=d; 48 for(int i=2;i<=n;i++){ 49 tmp=(tmp*tmp*a%d+tmp*b%d+c)%d; 50 insert(query(tmp+1)+1,tmp+1); 51 } 52 ans+=query(150); 53 write(ans); putchar('\n'); 54 return 0; 55 }
T2 完全背包问题
无思路，考场狗了个记搜。
正解分类讨论。当最小的$v$大于等于$l$时最多选$c$个，最大体积为$c*v_{max}$可以直接$DP$。
定义$f_{i,j,k}$为选到第$i$个，最多选$j$个，体积为$k$的方案是否合法。有：
$f_{k,i,j}=f_{k-1,i,j}$ $or$ $f_{k,i-1,j-v_k}$
当最小的$v$（定义为$v_0$）小于$l$时，如果存在体积为$W$的方案，那么一定存在体积为$W+v_0$的方案。直接那么只考虑体积在模$v_0$意义下的合法方案中最小的体积，询问时进行比较即可。
考虑$DP$，意义同上。有：
$f_{k,i,j}=\begin{cases}
min\left ( f_{k-1,i,j},f_{k,i-1,(j-v_k)mod(v_0)}+v_k \right ), &v_k\geq l\\min\left ( f_{k-1,i,j},f_{k,i,(j-v_k)mod(v_0)}+v_k \right ),&v_k<l
\end{cases}$
注意到$DP$状态转移是个环，就用最短路转移。建出一个点数为$v_0+1$的有向图，原点$S$向每个节点$j$连边，边权为$f_{k-1,i,j}$;每个节点$j$向节点$(j+v_k)mod(v_0)$连边，边权为$v_k$。原点与节点$j$的距离即为$f_{k,i,j}$。
注意这样跑最短路算出的$f_{k,i,j}$是正好选了$i$个体积大于等于$l$的物品的最小方案体积，最后要进行覆盖，使它符合定义。
$code:$
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define int long long 3 using namespace std; 4 int n,m,v[55],l,c,w,f[55][31][10005]; 5 int head[20005],to[400005],nex[400005],ew[400005],num; 6 bitset<300005>fl[31][31]; 7 inline int read(){ 8 int x=0,f=1; char ch=getchar(); 9 while(ch<'0'||ch>'9'){ if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); } 10 while(ch>='0'&&ch<='9'){ x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); } 11 return x*f; 12 } 13 inline void write(int x){ 14 char ch[20]; int len=0; 15 if(x<0) x=~x+1, putchar('-'); 16 do{ 17 ch[len++]=x%10+(1<<5)+(1<<4); 18 x/=10; 19 }while(x); 20 for(int i=len-1;i>=0;--i) putchar(ch[i]); 21 } 22 void spfa(int k,int i){ 23 bool vis[10005]={0}; 24 queue<int>q; 25 q.push(v[1]); vis[v[1]]=1; f[k][i][v[1]]=0; 26 while(!q.empty()){ 27 int x=q.front(); 28 for(int j=head[x];j;j=nex[j]){ 29 int vv=to[j]; 30 if(f[k][i][vv]<=f[k][i][x]+ew[j]) continue; 31 f[k][i][vv]=f[k][i][x]+ew[j]; 32 if(vis[vv]) continue; 33 vis[vv]=1; q.push(vv); 34 } 35 vis[x]=0; q.pop(); 36 } 37 } 38 inline void add(int a,int b,int d){ 39 to[++num]=b; nex[num]=head[a]; head[a]=num; ew[num]=d; 40 } 41 void s_l_e(){ 42 fl[0][0][0]=1; 43 for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=0;j<=c;j++) 44 for(int k=1;k<c*v[n];k++) 45 if(k>=v[i]) fl[i][j][k]=fl[i-1][j][k]|fl[i][j-1][k-v[i]]; 46 else fl[i][j][k]=f[i-1][j][k]; 47 while(m--){ 48 w=read(); 49 bool flag=0; 50 if(w>c*v[n]){ puts("No"); continue; } 51 puts(fl[n][c][w]?"Yes":"No"); 52 } 53 } 54 void _o_v_(){ 55 for(int i=0;i<=n;i++) for(int j=0;j<=c;j++) 56 for(int k=0;k<=v[1];k++) f[i][j][k]=3e18; 57 f[0][0][0]=0; 58 for(int k=1;k<=n;k++) 59 if(v[k]>=l){ 60 for(int i=0;i<=c;i++) 61 for(int j=0;j<v[1];j++) 62 if(!i) f[k][i][j]=f[k-1][i][j]; 63 else f[k][i][j]=min(f[k-1][i][j],f[k][i-1][(j-v[k]%v[1]+v[1])%v[1]]+v[k]); 64 } 65 else 66 for(int i=0;i<=c;i++){ 67 memset(head,0,sizeof(head)); num=0; 68 for(int j=0;j<v[1];j++) 69 add(j,(j+v[k])%v[1],v[k]), add(v[1],j,f[k-1][i][j]); 70 spfa(k,i); 71 } 72 for(int i=1;i<=c;i++) 73 for(int j=0;j<v[1];j++) 74 f[n][i][j]=min(f[n][i][j],f[n][i-1][j]); 75 while(m--){ 76 w=read(); 77 puts(w>=f[n][c][w%v[1]]?"Yes":"No"); 78 } 79 } 80 signed main(){ 81 // freopen("bag0.in","r",stdin); 82 // freopen("out","w",stdout); 83 n=read(); m=read(); 84 for(int i=1;i<=n;i++) v[i]=read(); 85 sort(v+1,v+n+1); 86 l=read(); c=read(); 87 if(v[1]>=l) s_l_e(); 88 else _o_v_(); 89 return 0; 90 }
T3 最近公共祖先
树剖，每次染色时跳父亲，修改路径上每个点除了链上子树其他子树中所有点的最大值，遇到已修改过的点就停，避免重复修改，可以保证每个点只被修改一次。
查询时单点查询即可。
$code:$
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define ld rt<<1 3 #define rd (rt<<1)|1 4 using namespace std; 5 const int NN=1e5+5; 6 int n,m,num,to[NN<<1],nex[NN<<1],head[NN],w[NN],op; 7 int dep[NN],siz[NN],son[NN],top[NN],fa[NN],dfn[NN],id[NN],cnt; 8 char opt[10]; 9 bool vis[NN]; 10 inline int read(){ 11 int x=0,f=1; char ch=getchar(); 12 while(ch<'0'||ch>'9'){ if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); } 13 while(ch>='0'&&ch<='9'){ x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); } 14 return x*f; 15 } 16 inline void write(int x){ 17 char ch[20]; int len=0; 18 if(x<0) x=~x+1, putchar('-'); 19 do{ 20 ch[len++]=x%10+(1<<5)+(1<<4); 21 x/=10; 22 }while(x); 23 for(int i=len-1;i>=0;--i) putchar(ch[i]); 24 } 25 inline void add(int a,int b){ 26 to[++num]=b; nex[num]=head[a]; head[a]=num; 27 to[++num]=a; nex[num]=head[b]; head[b]=num; 28 } 29 void dfs1(int f,int s){ 30 fa[s]=f; dep[s]=dep[f]+1; siz[s]=1; 31 for(int i=head[s];i;i=nex[i]){ 32 int v=to[i]; 33 if(v==f) continue; 34 dfs1(s,v); 35 siz[s]+=siz[v]; 36 if(siz[v]>siz[son[s]]) son[s]=v; 37 } 38 } 39 void dfs2(int t,int s){ 40 top[s]=t; dfn[s]=++cnt; id[cnt]=s; 41 if(!son[s]) return; 42 dfs2(t,son[s]); 43 for(int i=head[s];i;i=nex[i]){ 44 int v=to[i]; 45 if(v!=fa[s]&&v!=son[s]) dfs2(v,v); 46 } 47 } 48 struct segment_tree{ 49 int l[NN<<2],r[NN<<2],mx[NN<<2],laz[NN<<2]; 50 void pushup(int rt){ 51 if(l[rt]==r[rt]) return; 52 mx[rt]=max(mx[ld],mx[rd]); 53 } 54 void pushdown(int rt){ 55 if(!laz[rt]||l[rt]==r[rt]) return; 56 mx[ld]=max(laz[rt],mx[ld]); mx[rd]=max(laz[rt],mx[rd]); 57 laz[ld]=max(laz[ld],laz[rt]); laz[rd]=max(laz[rd],laz[rt]); 58 laz[rt]=0; 59 } 60 void build(int rt,int opl,int opr){ 61 l[rt]=opl; r[rt]=opr; mx[rt]=-1; 62 if(opl==opr) return; 63 int mid=opl+opr>>1; 64 build(ld,opl,mid); 65 build(rd,mid+1,opr); 66 } 67 void update(int rt,int opl,int opr,int val){ 68 if(l[rt]>=opl&&r[rt]<=opr){ 69 mx[rt]=max(mx[rt],val); 70 laz[rt]=max(laz[rt],val); 71 return; 72 } 73 pushdown(rt); 74 int mid=l[rt]+r[rt]>>1; 75 if(opl<=mid) update(ld,opl,opr,val); 76 if(opr>mid) update(rd,opl,opr,val); 77 pushup(rt); 78 } 79 int query(int rt,int pos){ 80 if(l[rt]==r[rt]) return mx[rt]; 81 pushdown(rt); 82 int mid=l[rt]+r[rt]>>1,ans=-1; 83 if(pos<=mid) return query(ld,pos); 84 else return query(rd,pos); 85 } 86 }s; 87 void UPD(int x){ 88 s.update(1,dfn[x],dfn[x]+siz[x]-1,w[x]); 89 while(fa[x]!=0&&!vis[x]){ 90 vis[x]=1; 91 s.update(1,dfn[fa[x]],dfn[x]-1,w[fa[x]]); 92 s.update(1,dfn[x]+siz[x],dfn[fa[x]]+siz[fa[x]]-1,w[fa[x]]); 93 x=fa[x]; 94 } 95 } 96 signed main(){ 97 n=read(); m=read(); 98 for(int i=1;i<=n;i++) w[i]=read(); 99 for(int i=1;i<n;i++) add(read(),read()); 100 dfs1(0,1); dfs2(1,1); s.build(1,1,n); 101 while(m--){ 102 scanf("%s",opt); op=read(); 103 if(opt[0]=='M') UPD(op); 104 else write(s.query(1,dfn[op])), putchar('\n'); 105 } 106 return 0; 107 }
