【BZOJ 1419】Red is good [概率DP]

我 是 Z Z

概率好玄啊（好吧是我太弱.jpg

Description

桌面上有R张红牌和B张黑牌，随机打乱顺序后放在桌面上，开始一张一张地翻牌，翻到红牌得到1美元，黑牌则付出1美元。可以随时停止翻牌，在最优策略下平均能得到多少钱。

数据范围与提示

输出答案时,小数点后第六位后的全部去掉,不要四舍五入.

Solution

乍一看感觉是道普通求期望，然后就在错误的路上速度与激情。。其实不难，但也是道挺好的概率dp

由于要求的是最佳方案，所以并不是所有方案的平均值，即不能把期望作为最终答案。所以该怎么做？遇事不决就dp啊！

考虑开二维状态数组f[r][b]，一维已抽出的红牌，一维已抽出的黑牌。那么对于f[i][j]，有i/(i+j)的平均最优解是由抽出红牌转移而来，j/(i+j)的平均最优解是由抽出黑牌转移而来。即：

f[i][j]=(i×(f[i-1][j]+1)+j×f[i][j-1])/(i+j)

又因为要求最优解，所以抽牌赔钱不如不抽，即可将值为负的状态转移为0。

所以有状态转移方程：

f[i][j]=max(0.0,((f[i-1][j]+1)×i+(f[i][j-1]-1)×j)/(i+j))

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几点注意：

1.输出不能四舍五入，我在网上搜的几种避免四舍五入的方式不知为何都没用，只能手模了一个。。

ans=((int)(ans*1e6))/1e6;
printf("%.6lf",ans);

 

2.题面空间限制64m，5000×5000显然会炸，要开滚动数组。

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代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int r,b,n;
double f[5001][5001],ans;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        if(ch=='-')
            f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
int main()
{
    r=read();   b=read();
    for(int i=1;i<=r;i++)
    {
        f[i&1][0]=i;
        for(int j=1;j<=b;j++)   
            f[i&1][j]=max(0.0,((f[i-1&1][j]+1)*i+(f[i&1][j-1]-1)*j)/(i+j));
    }
    ans=((int)(f[r&1][b]*1e6))/1e6;
    printf("%.6lf",ans);
    return 0;
}

（附身边高人JYFHYX T60的暴力搜索：

using namespace std;
int j,d;
double r,b;
double f[5001][5001];
inline double dp(double black,double red)
{
j=black,d=red;
if(f[j][d])
return f[j][d];
if(black+red==0)
return 0;
return f[j][d]=(red/(black+red))(max(dp(black,red-1.0),0.0)+1)+(black/(black+red))(max(dp(black-1.0,red),0.0)-1);
}
int main()
{
cin>>r>>b;
int n=r+b;
for(int i=1;i<=r;i++)
{
f[0][i]=i;
}
for(int i=1;i<=b;i++)
f[i][0]=-i;
double ans;
ans=dp(b,r);
ans=((int)(ans*1e6))/1e6;
printf("%.6lf",ans);
}

 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
double r,b;
double f[5001][5001];
inline double dp(double black,double red)
{
    int j=black,b=red;
    if(f[j][b])
    return f[j][b];
    if(black+red==0)
    return 0;
    return f[j][b]=(red/(black+red))*(max(dp(black,red-1.0),0.0)+1)+(black/(black+red))*(max(dp(black-1.0,red),0.0)-1);
}
int main()
{
    cin>>r>>b;
    int n=r+b;
    for(int i=1;i<=r;i++)
    {
        f[0][i]=i;
    }
    for(int i=1;i<=b;i++)
    f[i][0]=-i;
    double ans;
    ans=dp(b,r);
    ans=((int)(ans*1e6))/1e6;
    printf("%.6lf",ans);
}