POJ 3017 Cut the Sequence（DP + 单调队列优化 + 平衡树）

题意：

长度为 n 的数列，要求把这个数列划分为任意块，每块的元素和小于 m，使得所有块的最大值的和最小。

思路：

1. 很明显的一个转移方程是： dp[i] = max(dp[j] + max(a[j+1], a[j+2], ..., a[i])); 其中满足 sum[i] - sum[j] <= M 的 j 都算，这是一个 O(N * N) 的解法。

2. 如果不去优化枚举 j 的这个过程，就会直接 TLE，如何优化？联系到求最大值，可以想到用最大值的单调队列，队列里面存放的是以 i 为结尾，窗口里面的元素和

   恰好不大于 M 的 j 为左边界，即恰好有 sum[i] - sum[j-1] <= M.

3. 如果是这样的话，还不能够达到目标，因为 1 中最优值点的 j 的选择可能是窗口中的任意一个值，这时候遇到一个困难：确定 j 的位置，使情况最优。

4. 考虑到 dp[i] 是一个单调增的数组，而窗口中的元素是关于最大值递减的，先让 M 足够大，从简单的角度来考虑：对于 a[1] = 8, a[2] = 5, a[3] = 7，对于 dp[3]

   则有 dp[3] = min(dp[0] + 8, dp[1] + 7, dp[2] + 7)，显然 dp[1] <= dp[2]，则进一步优化有 dp[3] = min(dp[0] + 8, dp[1] + 7);

5. 从 4 中我们可以看出点端倪，单调队列中所指向的元素也恰好是 8, 7，所以得出的结论有：对于 dp[i] 只要选择单调队列中所指向的位置的 j 即可保证结果是最优的。

6. 如何维护单调队列中的 dp[j] + max(a[j+1], a[j+2], ..., a[i])，则考虑使用一个平衡树，这样可以把时间复杂度降到最低。

 

#include <iostream>
#include <set>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define LL long long int

const int MAXN = 100010;

int num[MAXN], deq[MAXN];
LL dp[MAXN];
multiset<LL> optset;

int main()
{
    LL N, M;

    scanf("%lld %lld", &N, &M);
    for (int i = 1; i <= N; ++i)
        scanf("%d", &num[i]);

    LL sum = 0;
    int s = 0, e = -1, p = 1;
    bool flag = false;

    optset.clear();
    for (int i = 1; i <= N; ++i)
    {
        if (num[i] > M)
        {
            flag = true;
            break;
        }

        sum += num[i];
        while (sum > M)
            sum -= num[p++];

        while (s <= e && num[i] >= num[deq[e]])
        {
            if (s < e)
                optset.erase(dp[deq[e-1]] + num[deq[e]]);
            --e;
        }

        deq[++e] = i;
        if (s < e)
            optset.insert(dp[deq[e-1]] + num[deq[e]]);

        while (deq[s] < p)
        {
            if (s < e)
                optset.erase(dp[deq[s]] + num[deq[s+1]]);
            ++s;
        }

        dp[i] = dp[p-1] + num[deq[s]];
        if (s < e && dp[i] > *optset.begin())
            dp[i] = *optset.begin();
    }
    if (flag)
        dp[N] = -1;
    printf("%lld\n", dp[N]);
    return 0;
}