四边形不等式
前言
之前写过一篇关于斜率优化的文章：Link
下面介绍另一种利用决策单调性来转移优化的方法。
算法简介
如果子问题的数目为 \(\Theta(n^2)\)，每个子问题需要用到 \(\Theta(n)\) 个子问题的结果来转移，那么我们称它为 2D/1D 的问题。
一般来说，它的状态转移方程是这样子的：
不难发现，这是区间 DP 的常用方程。
如果直接进行状态转移，那么时间复杂度为 \(\Theta(n^3)\)。
但是，如果 \(val(i,j)\) 存在某些特殊的性质，我们就可以用四边形不等式对其进行优化。
这里先介绍一下四边形不等式：
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定义 \(1\)：如果 \(\forall l\leq l'\leq r'\leq r,f(l,r')+f(l',r)\leq f(l',r')+f(l,r)\)，则称函数 \(f\) 满足四边形不等式。
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定义 \(2\)：如果 \(\forall l\leq l'\leq r'\leq r,f(l',r')\leq f(l,r)\)，则称函数 \(f\) 满足区间包含单调性。
下面详细介绍一下关于它的一些小性质：
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性质 \(1\)：函数 \(f\) 满足四边形不等式，当且仅当 \(\forall i<j,f(i+1,j)+f(i,j+1)\leq f(i,j)+f(i+1,j+1)\)。
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性质 \(2\)：在上面的状态转移方程中，若 \(val\) 满足区间包含单调性和四边形不等式，则 \(dp\) 也满足四边形不等式。
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性质 \(3\)：在上面的状态转移方程中，设 \(dp\) 的决策为 \(s\)，且 \(dp\) 满足四边形不等式，则 \(s[i][j-1]\leq s[i][j]\leq s[i+1][j]\)。
关于上面性质的证明如下：
- 性质 \(1\) 的证明：
用数学归纳法解释，比较简单。
- 性质 \(2\) 的证明：
考虑对区间长度归纳。
当区间长度为 \(1,2\) 时，不难证明四边形不等式成立。
假设当区间长度 \(<j-i+1\) 时，四边形不等式成立，下面证明当区间长度 \(=j-i+1\) 时成立。
相当于去证明这个式子：\(dp[i][j]+dp[i+1][j+1]\leq dp[i][j+1]+dp[i+1][j]\)
设 \(dp[i+1][j]\) 是由 \(k=x\) 转移得到，\(dp[i][j+1]\) 是由 \(k=y\) 转移得到，不妨设 \(x\leq y\)。
这里先证明一下：\(dp[x+1][j]+dp[y+1][j+1]\leq dp[x+1][j+1]+dp[y+1][j]\)。
事实上，由归纳假设我们知道：\(dp[x+1][j]-dp[x+1][j+1]\leq dp[x+2][j]-dp[x+2][j+1]\)。
以此类推即可得到上面我们想证的式子是成立的。
此时将 \(k=x\) 代入 \(dp[i][j]\)，将 \(k=y\) 代入 \(dp[i+1][j+1]\) 得到：
得证！
- 性质 \(3\) 的证明：
先证明：\(s[i][j]\leq s[i+1][j]\)。
我们设 \(dp[i][j]\) 是由 \(s[i][j]=d\) 转移得到的。
设 \(h[k][i][j]=dp[i][k]+dp[k+1][j],\forall k<d\)。
那么有 \(dp[i][j]\leq h[k][i][j]\)，接下来只需证明：\(dp[i+1][j]\leq h[k][i+1][j]\) 即可。
由于 \(dp\) 满足四边形不等式，故我们有：\(\forall i+1\leq k<d,dp[i+1][d]+dp[i][k]\leq dp[i+1][k]+dp[i][d]\)。
因此，\(dp[i+1][j]-h[k][i+1][j]\leq dp[i][j]-h[k][i][j]\leq 0\)。
于是，\(s[i][j]\leq s[i+1][j]\)。
同理可得：\(s[i][j-1]\leq s[i][j]\)。
得证！
例题讲解
下面提供一道较为基础的题目：
例题1：[NOI1995]石子合并
\(\Large{\text{Description:}}\)
在一个圆形操场的四周摆放 \(n\) 堆石子，现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的两堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数记为该次合并的得分。
需要计算出将 \(n\) 堆石子合并成一堆的最小得分和最大得分。
数据范围：\(n\leq 100\)。
\(\Large{\text{Solution:}}\)
首先，这题可以想到用区间 DP 求解，再加上断环成链的思想，我们可以考虑到上面说的 2D/1D 的常规状态转移方程：
最大值比较简单，直接取两个端点的最大值即可；
最小值需要用下面的状态转移方程来实现：
这里按照上面的证明过程，不难得到 \(dp\) 是满足四边形不等式的。
那么利用性质 \(2,3\) 就可以写出下面的代码……（四边形不等式的优化大致上就是一个模板，会灵活应用即可）
时间复杂度：\(\Theta(n^2)\)。
\(\Large{\text{Code:}}\)
#include<bits/stdc++.h>
#define Re register
using namespace std;
const int N=205;
int n,a[N],sum[N];
int DP[N][N];
int s[N][N],dp[N][N];
inline int rd()
{
char ch=getchar();
int x=0,f=1;
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(Re int i=1;i<=n;i++)
{
a[i]=rd();
a[n+i]=a[i];
}
for(Re int i=1;i<=n+n;i++)
{
sum[i]=sum[i-1]+a[i];
s[i][i]=i;
}
for(Re int i=n+n;i>0;i--)
{
for(Re int j=i+1;j<=n+n;j++)
{
DP[i][j]=max(DP[i+1][j],DP[i][j-1])+sum[j]-sum[i-1];
int Mindp=0x3f3f3f3f,Mins;
for(Re int k=s[i][j-1];k<=s[i+1][j];k++)
{
if(Mindp>dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1])
{
Mindp=dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1];
Mins=k;
}
}
dp[i][j]=Mindp;
s[i][j]=Mins;
}
}
int ans1=0x3f3f3f3f,ans2=0;
for(Re int i=1;i<=n+1;i++)
{
ans1=min(ans1,dp[i][i+n-1]);
ans2=max(ans2,DP[i][i+n-1]);
}
printf("%d\n%d",ans1,ans2);
return 0;
}
