归并排序(Merge Sort)是利用"归并"技术来进行排序。归并是指将若干个已排序的子文件合并成一个有序的文件。
归并排序
基本思想：设两个有序的子序列(相当于输入序列)放在同一序列中相邻的位置上：array[low..m]，array[m + 1..high]，先将它们合并到一个局部的暂存序列 temp (相当于输出序列)中，待合并完成后将 temp 复制回 array[low..high]中，从而完成排序。
在具体的合并过程中，设置 i，j 和 p 三个指针（其实只是数组下标而已），其初值分别指向这三个记录区的起始位置。合并时依次比较 array[i] 和 array[j] 的关键字，取关键字较小（或较大）的记录复制到 temp[p] 中，然后将被复制记录的指针 i 或 j 加 1，以及指向复制位置的指针 p 加 1。重复这一过程直至两个输入的子序列有一个已全部复制完毕(不妨称其为空)，此时将另一非空的子序列中剩余记录依次复制到 array 中即可。
合并过程的c++实现：
void merge(int* array, int low, int mid, int high)
{
//申请一个暂存数组，用于存储合并过程中的结果
int* temp = new int [high-low+1];
if (!temp)
{
cout<<"Error:out of memory!"<<endl;
return;
}
int i = low;
int j = mid + 1;
int index = 0;
while (i <= mid && j <= high)
{
if (array[i] <= array[j])
{
temp[index++] = array[i++];
}
else
{
temp[index++] = array[j++];
}
}
while (i <= mid)
{
temp[index++] = array[i++];
}
while (j <= high)
{
temp[index++] = array[j++];
}
//将结果数组拷贝到原来的数组中
memcpy((void*)(array + low), (void*)temp, (high - low + 1) * sizeof(int)) ;
delete [] temp;
}
归并排序有两种实现方法：自底向上和自顶向下。
一、自顶向下
自底向上方法，也就是常说的二路归并排序。
其基本思想是：第 1 趟排序将长度为 n 的待排序记录看作 n 个长度为 1 的有序子序列，然后将这些子序列两两合并。完成第 1 趟排序之后，将得到 lgn 个长度为 2 的有序子序列（如果 n 为奇数，则最后还有一个长度为 1 的子序列）。第 2 趟排序是在第 1 趟的排序的基础上，将这 lgn 个长度为 2 的子序列两两合并。如此反复，直到最后得到一个长度为n的有序文件为止。从这个排序过程来看，二路归并排序是从将长度为 1 的子序列排序变化到长度为 n 的有序序列，因而是自底向上的。
下面给出两个排序过程的示意图：
（1）待排序元素个数为偶数：
（2）待排序元素个数为奇数：
下面看一下自底向上的归并排序的c++实现：
// 对 [0, length - 1] 做一趟归并
//归并的两个元素长度为 n
void merge_pass(int* array, int length, int n)
{
int i;
int sortedLength = 2 * n;
// 归并长度为 n 的两个相邻子序列
for(i = 0; i <= length-1; i = i + sortedLength)
{
int low = i;
int mid = i+n-1;
int high = i+sortedLength-1;
//注意下标不要越界
if(mid > (length-1)) mid = length-1;
if(high > (length-1)) high = length-1;
//输出debug信息
cout<<"basic length = "<<n<<" low = "<<low<<" mid = "<<mid<<" high = "<<high<<endl;
merge(array, low, mid, high);
}
}
void merge_sort_buttomUp(int* array, int length)
{
for(int n = 1; n < length; n = (n *2))
{
merge_pass(array, length, n);
}
}
下面通过两个实例来稍稍解说一下：
1、待排序元素个数为偶数：
int a[8] = {2,1,6,10,4,8,3,5};
merge_sort_buttomUp(a,8);
cout<<"排序结果："<<endl;
for(int i = 0; i<=7; i++)cout<<a[i]<<" ";
注意到我在每一趟合并之前都打印输出了合并的参数，先说明一下输出结果中，basic length 表示此时合并时，两个合并数组的长度。那么结合上面的合并示意图应该可以理解了的。
2、待排序元素个数为偶数：
int a[9] = {2,1,6,10,4,8,3,5,0};
merge_sort_buttomUp(a,9);
cout<<"排序结果："<<endl;
for(int i = 0; i<=8; i++)cout<<a[i]<<" ";
结合上面的示意图，注意到输出的debug信息中有 low = mid = high = 8 的情况，这就是在奇数个待排序元素的时候，对最后一个数组本身进行了一次合并，结合示意图和debug信息综合理解。
二、自上而下
自底向上的二路归并排序算法虽然效率较高，但可读性较差（循环实现比递归实现一般效率都要高些）。下面来看看自上而下的递归实现，其可读性要好得多。自上而下的方法是采用分治法思想，具体排序过程分成三个过程：
（1）分解：将当前区间一分为二，即求分裂点 mid = (low + high)/2;
（2）求解：递归地对两个子区间 array[low..mid] 和 array[mid + 1..high] 进行归并排序；递归的终结条件：子区间长度为 1（一个记录自然有序）。
（3）合并：将已排序的两个子区间R[low..mid]和R[mid + 1..high]归并为一个有序的区间 array[low..high]。
下面给出一张示意图说明一下其过程：
下面看一下自上而下的归并排序的c++实现：
void merge_sort_pass(int* array, int low, int high)
{
int mid;
if (low < high)
{
mid = (low + high)/2;
//递归过程分割
merge_sort_pass(array, low, mid);
merge_sort_pass(array, mid + 1, high);
//合并
merge(array, low, mid, high);
}
}
void merge_sort_topDown(int* array, int length)
{
merge_sort_pass(array, 0, length - 1);
}
下面结合上图的示例，给出测试代码：
int a[6] = {14,12,15,13,11,16};
merge_sort_topDown(a,6);
cout<<"排序结果："<<endl;
for(int i = 0; i<=5; i++)cout<<a[i]<<" ";
观察可以知道：
其中：自底向上的实现过程采用迭代的实现；而自上而下的实现过程采用递归的实现。
好了，上面关于归并排序的两种思路都做了介绍，下面分析一下这个算法：
时间复杂度分析：
对长度为 n 的序列进行 lgn 趟二路归并，而每一趟归并的时间复杂度为 O(n)，因此归并排序的平均时间复杂度为 nlgn。
空间复杂度分析：
需要与待排记录等大的空间来存储中间变量，因为其空间复杂度为 O(n)。因此，归并排序肯定就不是就地排序了。
归并排序是稳定排序。
参考文章：http://www.cppblog.com/kesalin/archive/2011/03/13/merge_sort.html
