Round Numbers

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大致题意：

输入两个十进制正整数a和b，求闭区间 [a ,b] 内有多少个Round number

所谓的Round Number就是把一个十进制数转换为一个无符号二进制数，若该二进制数中0的个数大于等于1的个数，则它就是一个Round Number

注意，转换所得的二进制数，最高位必然是1，最高位的前面不允许有0

规定输入范围： 1<= a <b<=2E

用组合做

 

很猥琐的题，我首先说说猥琐的地方，再说说解题思路，有四点很猥琐：

（1）规定输入范围： 1<= a <b<=2E

这是一个忽悠人的幌子！！！输入数是大于2E的!!!但却又不是大数！！

网上看很多同学都说要用到精度，其实完全没必要，int能表示21E+的整数，精确的int极限能表示的正整数为2147483647，区区2E小意思.

但是即使这样，面对这题也不能松懈啊！ 2E转化为二进制有28位，一般同学都是用一维数组bin[]去存储二进制数的，这个数组的边界你要是定在28、29、30之类的就以为save那就大错特错了！！经过我孜孜不倦的提交，bin[]边界的最小值为35 ！！说明了用于测试的数据库是存在超过2E的数的！很多同学就因为这点不断WA（越界问题竟然不是RE，太卑鄙了），但又找不到任何算法错误，郁闷几天。

（2）bin[]数组若果定义为局部数组，等着WA吧！

     我找不到任何原因为什么会这样，bin不管是全局定义 还是 局部定义，本地是完全AC的，上传就出问题了，局部WA，全局AC。

     人家有强权，我被迫把传参del掉，把bin改为全局，郁闷！猥琐！

（3）组合数打表，同(1)的猥琐，c[][]边界的最小值为33，就是说如果定义组合表的大小比

c[33][33]小的，就等着RE吧!  我一开始很小白的定义了c[29][29]。。。。呼吁大家别为别人的服务器省空间了= =

还有就是这个算法有一个违背常识的处理，要把c[0][0]=1，不然某些最终结果会少1

（4）输入不能用循环输入while(cin>>…)，不然你就等着OLE (就是Output Limit Excessed，很少见吧！)。不知道数据库是怎么回事，输入竟然不会根据读取数据结束而结束，而是无限输出最后一次输入所得的结果……老老实实一次输出就end file吧！

 

解题思路：

组合数学题，不知道为什么会被归类到递推数学，可能是因为杨辉三角和组合数之间的关系。。。

我根据我写的程序讲解好了

 

要知道闭区间 [a ,b] 内有多少个Round number，只需要分别求出

闭区间 [0 ,a] 内有T个RN

闭区间 [0 ,b+1] 内有S个RN

再用 S – T 就是闭区间 [a ,b] 内的RN数了

至于为什么是 b+1，因为对于闭区间 [0 ,k] ，我下面要说的算法求出的是比k小的RN数，就是说不管 k是不是RN, 都没有被计算在内，所以若要把闭区间[a ,b]的边界a和b都计算在内，就要用上述的处理方法。

 

现在问题的关键就是如何求[0 ,k]内的RN数了

首先要把k转化为二进制数bin-k，并记录其位数（长度）len

那么首先计算长度小于len的RN数有多少（由于这些数长度小于len，那么他们的值一定小于k，因此在进行组合时就无需考虑组合所得的数与k之间的大小了）

for(i=1;i<bin[0]-1;i++)         //bin[0]记录的是二进制数的长度len

              for(j=i/2+1;j<=i;j++)

                     sum+=c[i][j];

可以看到，i<len-1 ，之所以减1，是因为这些长度比len小的数，最高位一定是1，那么剩下可供放入数字的位数就要再减少一个了

这条程序得到的sum为

1表示当前处理的二进制数的最高位，X表示该二进制数待放入数字的位

显然这段程序把  二进制数0  排除在外了，这个是最终结果没有影响的，因为最后要把区间[a , b]首尾相减，0存不存在都一样了。

 

 

然后计算长度等于len的RN数有多少（由于这些数长度等于len，那么他们的值可能小于k，可能大于k，因此在进行组合时就要考虑组合所得的数与k之间的大小了）

int zero=0;  //从高位向低位搜索过程中出现0的位的个数

       for(i=bin[0]-1;i>=1;i--)

              if(bin[i])   //当前位为1

                     for(j=(bin[0]+1)/2-(zero+1);j<=i-1;j++)

                            sum+=c[i-1][j];

              else

                     zero++;

之所以初始化i=bin[0]-1，是因为bin[]是逆向存放k的二进制的，因此要从高位向低位搜索，就要从bin[]后面开始，而要 bin[0]-1 ，是因为默认以后组合的数长度为len，且最高位为1，因此最高位不再搜索了。

那么问题的关键就是怎样使得以后组合的数小于k了

这个很简单：

从高位到低位搜索过程中，遇到当前位为0，则不处理，但要用计数器zero累计当前0出现的次数

遇到当前位为1，则先把它看做为0，zero+1，那么此时当前位 后面的 所有低位任意组合都会比k小，找出这些组合中RN的个数，统计完毕后把当前位恢复为原来的1，然后zero-1，继续向低位搜索

 

 

那么问题就剩下 当当前位为1时，把它看做0之后，怎样去组合后面的数了

此时组合要考虑2个方面：

（1）       当前位置i后面允许组合的低位有多少个，我的程序由于bin是从bin[1]开始存储二进制数的，因此 当前位置i后面允许组合的低位有i-1个

（2）       组合前必须要除去前面已出现的0的个数zero

我的程序中初始化j=(bin[0]+1)/2-(zero+1)， j本来初始化为(bin[0]+1)/2就可以了，表示对于长度为bin[0]的二进制数，当其长度为偶数时，至少其长度一半的位数为0，它才是RN，当其长度为奇数时，至少其长度一半+1的位数为0，它才是RN。

但是现在还必须考虑前面出现了多少个0，根据前面出现的0的个数，j的至少取值会相应地减少。  -(zero+1) ，之所以+1，是因为要把当前位bin[i]看做0

 

 

 

然后到了最后，剩下一个问题就是怎样得到每一个 的值，这个我发现很多同学都是利用打表做的，利用的就是 组合数 与 杨辉三角 的关系（建立一个二维数组C[n]

就能看到他们之间关系密切啊！区别就是顶点的值，杨辉三角为1，组合数为0）

其实这个“关系”是有数学公式的

好好体会一下吧！

其实组合数也可以直接用计算方法做(n的规模可以至少扩展到1000)，不过这里n的规模只有26，打表应该是更快的，有兴趣学习用计算方法做组合数的同学可以联系我，这个要用另外的数学方法处理。

我QQ289065406    O(∩_∩)O哈哈~

 

#include<map>
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#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<functional>

using namespace std ;
int c[ 40 ][ 40 ] = { 0 } ;
int bin[ 40 ] ;//十进制n的二进制数
/*打表，计算C( M , N )*/
void play_table()
{
	for( int i = 0 ; i <= 32 ; ++i )
	{
		for( int j = 0 ; j <= i ; ++j )
		{
			if( !j || i == j )
				c[ i ][ j ] = 1 ;
			else
				c[ i ][ j ] = c[ i - 1 ][ j - 1 ] + c[ i - 1 ][ j ] ;
		}
	}
} 
/*十进制n转换二进制，逆序存放到bin[]*/
void dec_to_bin( int n )
{
	bin[ 0 ] = 0 ;//b[0]是二进制数的长度
	while( n )
	{
		bin[ ++bin[ 0 ] ] = n % 2 ;
		n /= 2 ;
	}
}

/*计算比十进制数n小的所有RN数*/
int round( int n )
{
	int i , j ;
	int sum = 0 ;//比十进制数n小的所有RN数
	dec_to_bin( n ) ;
	/*计算长度小于bin[0]的所有二进制数中RN的个数*/
	for( i = 1 ; i < bin[ 0 ] - 1 ; ++i )
	{
		for( j = i / 2 + 1 ; j <= i ; ++j )
		{
			sum += c[ i ][ j ] ;
		}
	}
	 /*计算长度等于bin[0]的所有二进制数中RN的个数*/
	int zero = 0 ; //从高位向低位搜索过程中出现0的位的个数
	for( i = bin[ 0 ] - 1 ; i >= 1 ; --i )
	{
		if( bin[ i ] )   //当前位为1
		{
			for( j = ( bin[ 0 ] + 1 ) / 2 - ( zero + 1 ) ; j <= i - 1 ; ++j )
				sum += c[ i - 1 ][ j ] ;
		}
		else
			zero++ ;
	}
	return sum ; 
}

int main()
{
	play_table() ;
	int a , b ;
	cin >> a >> b ;
	cout << round( b + 1 ) - round( a ) << endl ;
    return 0;
}