2015 Multi-University Training Contest 1 题解&&总结
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题意
给定一个数列(长度<$10^5$)，求有多少区间[l,r]，且区间内有多少数,满足区间内其它数不是他的约数。
数的范围$[1,10000]$。结果对$10^9+7$取模。
Solution
首先可以预处理每个数的约数有哪些。对每个数存下它的位置有哪些。
然后可以枚举每一个位置，利用二分找到左边第一个是它约数的数，和右边第一个是他约数的数。
假设向左有L个数，向右有R个数。那么ans应该加上（L*R）。
时间复杂度$O(n*log(n)*log(m))$
题意
给定一个数列(长度<$10^5$)，求有多少区间，满足区间内任意两数差的绝对值小于k。
Solution
1. 维护两个优先队列，一个大值优先，一个小值优先。移动区间的两个端点l和r
如果当前最大值-最小值>=k,将l从两个队列中删除，l++。
如果当前最大值-最小值<k,ans+=(r-l+1)，r++。
时间复杂度$O(n*log(n))$
2. 维护ST，枚举左端点l，二分右端点r。ans+=(r-l+1);
时间复杂度$O(n*log(n)*log(n))$
题意
X国有n($n<10^5$)个城市，用n-1条无向边连接。
城市i有一个权值$w_i(w_i<100)$,如果炸毁城市i，那么距离i不超过$w_i$的节点也会被炸毁。
求炸毁所有城市最少需要炸几次。
Solution
相比前几天做的 SGU 280 不同之处在与这题对每个点有不同的k。
但这一题不能贪心，只能采用dp的方法。形式上却也差不多，都是对子树的讨论。
令f[i][j]为以i为根的子树，能向子树外拓展i个节点最少需要炸毁几个城市。
G[i][j]为以i为根的子树，子树内有节点未被炸毁，且距离根为j最少需要炸毁几个城市。
转移方程:
不炸毁u点
$f[u][j]=f[v][j+1]+min(f[k][0~j+1],G[k][0~j])$;
$G[u][0]=f[u][0]$;
$G[u][j]=G[v][j-1]+min(f[k][0~j-1],G[k][0~j-1])$;
炸毁u点
$f[u][w[u]]=1+min(f[v][0~w[u]+1],G[v][w[u]])$;
这里需要对f[][]和G[][],求前缀最小值。
节点比较多，避免爆栈不能直接用递归的方法做。
时间复杂度$O（n*w）$
题意
有n($n<200$)种糖果，每种有$a_i$ （$a_i<200$）个。
求有多少种方法从n个糖果中取一部分并分成数量相同的两份。
结果对$10^9+7$取模。
Solution
令DP[i][j]为前i种糖果分完后第一部分比第二部分多了j个的种数。
设$a_{i+1}=t $ 可以得到转移.
$DP[i+1][j]=DP[i][j+k]*((t-|k|)/2+1),(|k|<=t)$
这个转移是$O(n)$的，我们需要让它简单一点。
注意到当t为偶数且t=4的时候，以j为准。
从j-4到j+4的乘法系数的差为-2，-2，-1，-1，0，-1，-1，-2，-2
再看转移$DP[i+1][j+1]$时
从j-3到j+5的乘法系数的差为 -2，-2，-1，-1，0，-1，-1，-2，-2
从这里发现可以通过预处理$DP[i]$，来使得可以$O(1)$由$DP[i+1][j]$转移到$DP[i+1][j+1]$。
只要加上右边偶数（包括0）位，减去左边奇数位。
t为奇数的情况类似。
时间复杂度$O(n^3)$
题意
一个2*2的魔方，掉在地上分开后重新组装，给出组装后的样子，判断该魔方是否可以通过旋转还原。
>规律题，不甚了解。
题意
给一个$n(n<2000)$个点，$m(m<60000)$条边的无向图。
分别求最少删掉多少条边该图从1到n的最短路长度变大，最多删掉多少条边该图从1到n的最短路不发生变化。
Solution
先分别以1和n点为起点做一次单源最短路。求出哪些边哪些点在所有的最短路中。
然后用所有的最短路边做一次最小割。就能得出最少删掉的边的数目。
用m减去边最少最短路的边数，就可以求出最多可以删掉的边数。
题意
给一棵$n(n≤10^5)$个节点的树，再给$q(q≤10^5)$个操作，初始集合S为空，
每个操作要在一个集合S中删除或增加某些点，输出每次操作后：要使得集合中任意两点互可达所耗最小需要多少权值。
Solution(官方题解)
题意
给定正整数$n(n<2*10^{18})$和$r(r≤62)$，定义数列为从正整数序列中删除所有能表示成$a^b(2≤b≤r)$的数后的数列
求数列的第n个数是多少。30000组数据。
Solution
利用容斥计算前k个数有多少个在数列里面。然后可以二分或者迭代k。
时间复杂度$O(30000*log(n)*62)$
题意
给$n(n<20000)$个圆，任意两圆的只有包含和相离关系。
两个人玩游戏，每次可以消去一个圆和它包含的所有圆，最后不能消去的失败。
判断先手赢还是后手赢。
Solution
树上博弈。可以先对半径排序。半径最小的包含圆i的圆就是它的父亲。直接暴力判断建树都能过，稳妥的方法还是用线段树。
叶子节点的SG值为0，中间节点的SG值为它的所有子节点的SG值加1后的异或和。直接dfs就行。
