Uva 106 - Fermat vs. Pythagoras 解题报告

 

 

 

 

        数论题，考查了本原勾股数（PPT）

          对一个三元组（a,b,c）两两互质

            且满足 a² + b² = c²

    首先有结论

           a 和 b 奇偶性不同 c总是奇数（可用反证法证明，不赘述）

    设 a为奇数 b为偶数 a，b，c互质

    有

         a² = c² – b² =(c-b)(c+b)

        

    由于c和b互质 且a为奇数

    （c-b）与（c+b）也互质

    令（c+b）=s²  （c-b）=t²

    有 c=（s²+t²）/2 b=(s²-t²)/2

       a=st

    这时可以枚举s 和 t 保证 s t 互质

    非本原勾股数只需乘上一个系数即可

 

 

#include <iostream>
#include <math.h>
#include <cstring>
int flag[1000001];
using namespace std;
int main()
{
    int i,m,n,maxm,maxn;
    int ans=0;
    for (;cin>>i;ans=0)
    {
        memset(flag,0,sizeof flag);
        maxm=(int)sqrt((float)i-1);
        for (m=2;m<=maxm;++m)
        {
            maxn=(int)sqrt((float)i-m*m);
            maxn=maxn>=m?m-1:maxn;
            for(n=1;n<=maxn;++n)
            {
                if(n%2!=m%2)
                {
                    int a=m,b=n,c;
                    for(int r; (r = a % b) != 0; a = b, b = r);
                    if (b == 1)
                    {
                        ++ans;
                        a = m * m - n * n, b = 2 * m * n, c = m * m + n * n;
                        for (int k = 0; c * k <= i; ++k)
                        {
                            flag[a * k] = flag[b * k] = flag[c * k] = 1;
                        }
                    }
                }
            }
        }
        cout << ans << " ";
        for (ans = 0, m = 1; m <= i; ans += !flag[m++]);
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}