拓扑排序

拓扑排序

只针对DAG排序

如果有环，序列长度不为\(n\)

时间复杂度\(O(n+m)\)

实现：

维护每个点入度，入度为\(0\)的入队，每次取队首遍历出边，入度\(-1\)，然后继续让入度为\(0\)的入队，直到队空

最长路

注意\(vis\)过\(x\)才能更新\(y\)

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+10;
inline int read() {
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return f*x;
}
inline void Max(ll &x,ll y){if(x<y)x=y;}
int n,m,du[N];
int hd[N],to[N<<1],tot,nxt[N<<1],w[N<<1];
inline void add(int x,int y,int z) {
	to[++tot]=y;w[tot]=z;nxt[tot]=hd[x];hd[x]=tot;
} 
queue<int>q;
ll f[N];
bool vis[N];
int main() {
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		int u=read(),v=read(),w=read();
		add(u,v,w);
		du[v]++;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) 
		if(!du[i])
			q.push(i);
	f[n]=-1;vis[1]=1;
	while(q.size()) {
		int x=q.front();q.pop();
		for(int i=hd[x];i;i=nxt[i]) {
			int y=to[i];
			if(vis[x]) {
				Max(f[y],f[x]+w[i]);
				vis[y]=1;
			}
			if(!--du[y]) q.push(y);
		}
	}
	printf("%lld",f[n]);
	return 0;
}

排序

很多细节

首先\(n\)很小，我们可以每次输入一个就拓扑一次

对于三种情况

1.如果 没有点入度为\(0\)，这说明有环，矛盾

如果排出序的点个数不等于已知的点，说明有环，那么显然矛盾；

2.然后除了情况1，并且入队的点\(=n\)，那么可以排序

3.除了上面两个就是无法排序咯——wrong 和 ok 判断如果多个点入度为0，那么我们无法确定顺序

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<queue>
using namespace std;
#define N 150
vector<int> g[N];
queue<int> q;
bool vis[N],wrong,ok;
int in[N],a[N],inc[N];
int cnt,sum; 
int n,m;
char ch;
int tp(){
	wrong=0;sum=0;ok=0;//ok和wrong 判断是否有多个入度为0的，无法确定顺序
	for(int i=1;i<=26;i++) {
		inc[i]=in[i];
		if(!inc[i]&&vis[i]) {
			if(!ok) ok=1;
			else wrong=1;
			q.push(i);
			a[++sum]=i;
		}
	}
	if(q.empty()) return 1;
	while(q.size()) {
		int x=q.front();q.pop();
		ok=0;
		for(int i=0;i<g[x].size();i++) {
			int v=g[x][i];inc[v]--;
			if(!inc[v]) {
				q.push(v);a[++sum]=v;
				if(!ok) ok=1;
				else wrong=1;
			}
		}
	}
	if(cnt!=sum) return 1;
	if(wrong) return 2;
	return 0;
}
int main() {
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1,x,y;i<=m;i++) {
		cin>>ch; x=ch-64;
		if(!vis[x]){vis[x]=1;cnt++;}
		cin>>ch;
		cin>>ch; y=ch-64;
		if(!vis[y]){vis[y]=1;cnt++;}

		g[x].push_back(y);
		in[y]++;

		if(tp()==1) {
			printf("Inconsistency found after %d relations.",i);
			return 0;
		}
		if(sum==n&&!tp()) {
			printf("Sorted sequence determined after %d relations: ",i);
			for(int j=1;j<=n;j++)
				printf("%c",a[j]+64);
			printf(".");
			return 0;
		}
	}
	printf("Sorted sequence cannot be determined.");
	return 0;
}

车站分级

解析：未停靠点向已停靠点连边，然后逐层删点删边，统计层数，最后减\(1\)；

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 1005
using namespace std;
int in[N],n,m,s;
int tp[N][N],a[N],b[N],cnt,ans=0;
bool vis[N],is[N];
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d",&s);
        memset(is,0,sizeof(is));
        for(int j=1;j<=s;j++)
            scanf("%d",&a[j]),is[a[j]]=1;
        for(int j=a[1];j<=a[s];j++)
            if(!is[j])
                for(int k=1;k<=s;k++)
                    if(!tp[j][a[k]])
                        tp[j][a[k]]=1,in[a[k]]++;
    }
    do{//cnt是点，b[cnt]是车站号
        cnt=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            if(!in[i]&&!vis[i])
                vis[i]=1,b[++cnt]=i;
        for(int i=1;i<=cnt;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                if(tp[b[i]][j])
                    tp[b[i]][j]=0,in[j]--;
        ans++;
    }while(cnt);
    printf("%d",ans-1);
    return 0;
}

骑士bzoj1471

dp+拓扑

\[设f[i][j]表示一个走到i，另一个走到j的方案数\\ 边界 f[a1][b1]=1;目标 f[a2][b2]\\ 然后把图拓扑排序，对于每个点，1~n暴力枚举可以到达的点，方案数累加\\ 注意两维都要更新 \]

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#define N 205
#define M 10005
using namespace std;
int in[N],n,m;
long long f[N][N];
int hd[M],nxt[M],to[M],tot;
inline void add(int x,int y){
    to[++tot]=y;nxt[tot]=hd[x];hd[x]=tot;
}
queue<int>q;
int a1,a2,b1,b2;
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1,x,y;i<=m;i++){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y); 
        in[y]++;
    }
    scanf("%d%d%d%d",&a1,&a2,&b1,&b2);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!in[i]) q.push(i);
    
    f[a1][b1]=1;
    while(!q.empty()){
        int x=q.front();q.pop();
        for(int i=hd[x];i;i=nxt[i]){
            int y=to[i];
            for(int j=1;j<=n;j++)
                if(j!=y){
                    f[j][y]+=f[j][x];
                    f[y][j]+=f[x][j];
                }
            if(--in[y]==0) q.push(y);
        }
    }
    printf("%lld\n",f[a2][b2]);
    return 0;
}

菜肴制作

建反图——最大字典序

队列代替堆

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <utility>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2005;
const int M=10005;
inline int read() {
	int x=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x;
}
inline void Max(int &x,int y){if(x<y)x=y;}
inline void Min(int &x,int y){if(x>y)x=y;}
int n,m;
int du[N],k[N];
vector<int>G[N];

int tmp[N],st[N],tp;
#define MP make_pair

void topo() {
	priority_queue< pair<int,int> >q;
	memcpy(tmp,du,sizeof(tmp));
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!tmp[i]) q.push(MP(k[i],i));
	while(q.size()) {
		int x=q.top().second;q.pop();
		st[++tp]=x;
		for(auto y:G[x]) 
			if(!--tmp[y]) q.push(MP(k[y],y));
	}
}
int work(int now) {
	priority_queue< pair<int,int> >q;
	int cnt=0;
	memcpy(tmp,du,sizeof(tmp));
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!tmp[i]) q.push(MP(k[i],i));
	while(q.size()) {
		int x=q.top().second;q.pop();
		if(x==now) continue;
		//先不要让他入列，直到别的都拓扑的不能再拓扑了 
		if(n-cnt>k[x]) return n-cnt;
		cnt++;
		for(auto y:G[x]) 
			if(!--tmp[y]) q.push(MP(k[y],y));
	}	
	return n-cnt;
}
int main() {
	n=read();m=read(); 
	for(int i=1;i<=n;i++) k[i]=read();
	int x,y;
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		x=read();y=read();
		G[y].push_back(x);
		du[x]++;
	}
	topo();
	for(int i=n;i;i--)
		printf("%d ",st[i]);
	puts("");
	for(int i=1;i<=n;i++)
		printf("%d ",work(i));
	return 0;
}

航空管制

同上

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <utility>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2005;
const int M=10005;
inline int read() {
	int x=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x;
}
inline void Max(int &x,int y){if(x<y)x=y;}
inline void Min(int &x,int y){if(x>y)x=y;}
int n,m;
int du[N],k[N];
vector<int>G[N];

int tmp[N],st[N],tp;
#define MP make_pair

void topo() {
	priority_queue< pair<int,int> >q;
	memcpy(tmp,du,sizeof(tmp));
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!tmp[i]) q.push(MP(k[i],i));
	while(q.size()) {
		int x=q.top().second;q.pop();
		st[++tp]=x;
		for(auto y:G[x]) 
			if(!--tmp[y]) q.push(MP(k[y],y));
	}
}
int work(int now) {
	priority_queue< pair<int,int> >q;
	int cnt=0;
	memcpy(tmp,du,sizeof(tmp));
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!tmp[i]) q.push(MP(k[i],i));
	while(q.size()) {
		int x=q.top().second;q.pop();
		if(x==now) continue;
		//先不要让他入列，直到别的都拓扑的不能再拓扑了 
		if(n-cnt>k[x]) return n-cnt;
		cnt++;
		for(auto y:G[x]) 
			if(!--tmp[y]) q.push(MP(k[y],y));
	}	
	return n-cnt;
}
int main() {
	n=read();m=read(); 
	for(int i=1;i<=n;i++) k[i]=read();
	int x,y;
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		x=read();y=read();
		G[y].push_back(x);
		du[x]++;
	}
	topo();
	for(int i=n;i;i--)
		printf("%d ",st[i]);
	puts("");
	for(int i=1;i<=n;i++)
		printf("%d ",work(i));
	return 0;
}