从2023济南K学习滑动窗口中位数问题
板子
- 对顶堆
template<class T>
struct DualHeap {
Heap<T, std::greater<T>> small; // 小根堆，里面存放大的值
Heap<T, std::less<T>> big; // 大根堆，里面存放前k小的值
//中位数就是big.top()
DualHeap() {}
void update() {
if (big.size() == 0 and small.size() == 0) {
return;
}
while (big.size() > small.size() + 1) {
T x = big.top();
big.pop();
small.push(x);
}
while (big.size() < small.size()) {
T x = small.top();
small.pop();
big.push(x);
}
}
void push(T val) {
if (big.size() == 0) {
big.push(val);
return;
}
if (val <= big.top()) {
big.push(val);
} else {
small.push(val);
}
update();
}
void erase(T val) {
assert(big.size() >= 1);
if (val <= big.top()) {
big.erase(val);
} else {
small.erase(val);
}
update();
}
};
- 可删堆
template <class T, class Cmp = std::less<T>>
struct Heap {//可删堆
std::priority_queue<T, std::vector<T>, Cmp> qPush, qErase; // Heap=qPush-qErase
i64 sum;
Heap() : sum{0} {}
void push(T x) {
qPush.push(x);
}
void erase(T x) {
qErase.push(x);
}
T top() {
while (!qErase.empty() && qPush.top() == qErase.top())
qPush.pop(), qErase.pop();
return qPush.top();
}
void pop() {
while (!qErase.empty() && qPush.top() == qErase.top()) {
qPush.pop(), qErase.pop();
}
qPush.pop();
}
int size() {
return qPush.size() - qErase.size();
}
};
滑动窗口中位数
https://codeforces.com/gym/104901/problem/K
选区间内一个数，让区间内每个数到这个数的距离之和最小，动态维护这个距离之和
首先一个经典结论，这个数就是中位数。
那么问题转化成：滑动窗口维护区间每个数到中位数的距离之和 \(ans\)。
显然，ans 是所有比中位数 \(mid\) 与每个比中位数小的数 \(less\) 的差加上每个比中位数大的数 \(large\) 与中位数的差，也就是
\[ans = cnt_{less}\times mid - sum_{less} + sum_{large} - cnt_{large}\times mid
\]
那么我们就是要维护三个信息：
\(less, large, mid\)
这很像对顶堆，less和large的相关信息都完全可以对应上其中的大根堆和小根堆
单纯的对顶堆，是不支持删除的。
想要维护滑动窗口的中位数，就得结合可删堆。
直接从应用入手，把两个对顶堆改成可删堆其中即可，而对 sum 的动态维护则在可删堆的 push，pop，erase 操作中实现即可，非常直观。
template <class T, class Cmp = std::less<T>>
struct Heap {//可删堆
std::priority_queue<T, std::vector<T>, Cmp> qPush, qErase; // Heap=qPush-qErase
i64 sum;//维护出这个堆对应的sum
Heap() : sum{0} {}
void push(T x) {//加入的同时更新sum
sum += x;
qPush.push(x);
}
void erase(T x) {//删除的同时更新sum
sum -= x;
qErase.push(x);
}
T top() {
while (!qErase.empty() && qPush.top() == qErase.top())
qPush.pop(), qErase.pop();
return qPush.top();
}
void pop() {//一样，更新sum
while (!qErase.empty() && qPush.top() == qErase.top()) {
qPush.pop(), qErase.pop();
}
sum -= qPush.top();
qPush.pop();
}
int size() {//真实的个数也可以通过可删堆维护出来
return qPush.size() - qErase.size();
}
};
template<class T>
struct DualHeap {//结合可删堆，形成可删对顶堆
Heap<T, std::greater<T>> small; // small root
Heap<T, std::less<T>> big; // big root
DualHeap() {}
void update() {
if (big.size() == 0 and small.size() == 0) {
return;
}
while (big.size() > small.size() + 1) {
T x = big.top();
big.pop();
small.push(x);
}
while (big.size() < small.size()) {
T x = small.top();
small.pop();
big.push(x);
}
}
void push(T val) {
if (big.size() == 0) {
big.push(val);
return;
}
if (val <= big.top()) {
big.push(val);
} else {
small.push(val);
}
update();
}
void erase(T val) {
assert(big.size() >= 1);
if (val <= big.top()) {
big.erase(val);
} else {
small.erase(val);
}
update();
}
i64 getResult() {
if (big.size() == 0) {return 0;}//说明只有一个数
int x{big.top()};
i64 ans1 = 1LL * x * big.size() - big.sum;//比中位数小的数的贡献
i64 ans2 = small.sum - 1LL * x * small.size();//比中位数大的数的贡献
return ans1 + ans2;
}
};
void solve()
{
#define tests
int n; i64 k; std::cin >> n >> k; std::vector<int> a(n); for (auto& ai : a) {std::cin >> ai; --ai;}
for (int i = 0; i < n; i++) {a[i] -= i;}
DualHeap<int> dheap; int ans{}; for (int l = 0, r = 0; r < n; r++) {//这题固定右指针，移动左指针更方便
dheap.push(a[r]);
while (l <= r and dheap.getResult() > k) {//如果不满足条件，就继续移动左指针
dheap.erase(a[l]);
l += 1;
}
ans = std::max(ans, r - l + 1);
}
std::cout << ans << '\n';
}
