从CF1920C看同余的一个性质

https://codeforces.com/problemset/problem/1920/C

同余的一个性质：

证明很显然，但是想不到这个性质

1|0题意

给你 $n$ 个数，划分 $k$ 段，每段在对 $m(m\ge 2)$ 取模之后相等即为一个合法方案，问有多少个合法方案。

2|0断点

//check是能O(n)的
//问题在于怎么check
//经验证,  m = 2, 3, gcd(all(ai))... 时都可能有解
//16 4 | 13 4 (mod 3)
//不是去找几个特解

到此就卡死了

不能去找 $m$ 的值，然后代入验证。

3|0解法

$$a\equiv b(\mathrm{mod}m)\to m\mid (a-b)$$

那么问题就转化成了给两个数 $a,b$，问 $a,b$ 是否能在模一个数的意义下同余，可能的话求出m。

结果拿这个问题找 AI 一问，AI 给了个 $m|(a-b)$，整个问题就解决了。

一个很显然的思路：

对所有段同位置下的数的差值 $a_j-a_i(i\equiv j(\mathrm{mod}k))$ 取 $\underset{i(\mathrm{mod}k)}{gcd}$，然后再对这个 $gcd$ 数组取 $gcd$，如果答案不为 $1$，就说明找到了一个 $m$。

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本文作者：Kdlyh
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