从CF1901C学习除二向下取整的思路

https://codeforces.com/problemset/problem/1901/C

我发现对于向下取整向上取整的题目（不特指除二），没有一些常见的思路积累。

1|0Description

给定一个长度为 $n$ 的序列 $\{a_n\}$。每次操作你需要选择一个整数 $x$ 并将所有 $a_i$ 替换为 $\lfloor \frac{a_i+x}{2}\rfloor$。求至少多少次操作后能将所有 $a_i$ 变相同。

若最少次数小于等于 $n$，输出操作次数和每次操作所选择的 $x$。否则仅输出操作次数。

$1\le n\le 2\times {10}^5$，$0\le a_i\le {10}^9$。

2|0Solution

可以观察到，每次操作后，数字的相对大小关系不会发生改变。

例如 $a=\{4,2,5\}$，$x=3$，那么操作后的 $a^{\prime }=\{3,2,4\}$。可以发现 $a_3$ 和 $a_3^{\prime }$ 分别都是两个序列的最大值，$a_2$ 和 $a_2^{\prime }$ 都是两个序列的最小值。

那么就启发我们不用同时维护原序列中的所有值，只需要维护序列中的最大值和最小值。当这两个值相等时，就代表序列中所有的数都相同了。

那么问题就被转化成了这样：

给定两个整数 $a,b$。每次操作你需要选择一个整数 $x$ 并将 $a\leftarrow \lfloor \frac{a+x}{2}\rfloor$，$b\leftarrow \lfloor \frac{b+x}{2}\rfloor$。求至少多少次操作后 $a=b$。

每次操作我们肯定是希望利用下取整这个优秀性质来让 $a$ 尽量接近 $b$，也就是想让操作后 $a-b$ 尽量小。那么我们可以直接分讨：

• $a$ 为偶数，$b$ 为偶数：$x$ 任意取值；
• $a$ 为奇数，$b$ 为奇数：$x$ 任意取值；
• $a$ 为偶数，$b$ 为奇数：$x$ 任意一个奇数；
• $a$ 为奇数，$b$ 为偶数：$x$ 任意一个偶数。

然后就解决了。用 vector 记录答案即可。

3|0Code

void solve()
{
	cin >> n;
	a = 0, b = 2e9;
	for (int i = 1; i <= n; ++ i )
	{
		cin >> x;
		a = max(a, x);
		b = min(b, x);
	}
	
	vector<int> res;
	while (a != b)
	{
		if (a % 2 == 0 && b % 2 == 0) x = rand();
		else if (a % 2 == 1 && b % 2 == 1) x = rand();
		else if (a % 2 == 0 && b % 2 == 1) x = rand() * 2 + 1;
		else x = rand() * 2;
		a = (a + x) / 2;
		b = (b + x) / 2;
		res.push_back(x);
	}
	
	cout << res.size() << '\n';
	if (res.size() <= n)
	{
		for (auto i : res) cout << i << ' ';
		if (res.size()) puts("");
	}
	
	return;
}

题解的四个超链接很重要，对于除以二的向下取整的值，可以直接把奇数的转成减一除二。

1|0a 为偶数，b 为偶数

令 $\mathrm{\Delta }$ 为操作后 $a$ 与 $b$ 的差。

• 若选择的 $x$ 为偶数： $a^{\prime }={\displaystyle \frac{a+x}{2}}$，$b^{\prime }={\displaystyle \frac{b+x}{2}}$，$\mathrm{\Delta }={\displaystyle \frac{a-b}{2}}$。 -
• 若选择的 $x$ 为奇数： $a^{\prime }={\displaystyle \frac{a+x-1}{2}}$，$b^{\prime }={\displaystyle \frac{b+x-1}{2}}$，$\mathrm{\Delta }={\displaystyle \frac{a-b}{2}}$。
• 可以发现，无论 $x$ 怎样取值，两数差一定为 ${\displaystyle \frac{a-b}{2}}$。因此 $x$ 任意取值。

4|0Solution

$x$ 对于除以 $k$ 上取整

sum = (x + k - 1) / k

__EOF__

本文作者：Kdlyh
本文链接：https://www.cnblogs.com/kdlyh/p/17978428.html
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