单调栈

1|0概述

栈中元素满足单调性的线性数据结构，单调栈一般维护的是一个数前/后第一个大于/小于他的数。

1. 单调栈解决的主要问题是什么呢？

​ 就跟单调队列差不多。单调队列主要处理的是一个区间内的最大/小值，而单调栈处理的是寻找以某个值为最小/大值的最大区间。相比较，实际上单调栈用的虽然少一些，但是比单调队列更加灵活多变。

2. 为什么单调栈是正确的呢？

​ 对于这道题来说，我们定义一个元素失效，当且仅当这个元素的 $f_i$ 被保存。我们假设将栈中已有元素。既然栈中元素没有被弹出，那么证明还没有遇到比它大的元素。当我们的元素从栈中弹出的时候，这证明了它发现了第一个比它还要大的数，这道题刚好满足，于是保存 $f_i$ ，继续算法流程。同理，对于之前的主要问题，我们找到了一个比它还要大的数，说明这个区间结束了。

3. 单调栈的时间复杂度是？

​ 想一下，我们的每一个元素最多进栈/出栈一次，所以说时间复杂度 O(n)。

4. 结束标识符

   对于某些特殊题目，栈内元素出不完，会导致答案错误，这时候我们要添加结束标识符强制吐出所有栈内元素。

template <class T, class Cmp = std::greater_equal<T>> // >=
class MonotonyStack
    : private std::stack<std::pair<T, int>, std::vector<std::pair<T, int>>> {
    static constexpr Cmp cmp = Cmp();

public:
    MonotonyStack(const T &val, int id) {//一开始要放入的极限元素
        this->emplace(val, id);
    }

    int push(const T &val, int id) {
        while (this->empty() == false and cmp(this->top().first, val)) {
            this->pop();
        }

        assert(this->empty() == false);
        int result = this->top().second;

        this->emplace(val, id);

        return result;
    }
};

2|0板题

P5788 【模板】单调栈 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

https://www.luogu.com.cn/problem/solution/P5788

1|0题意

即求每一个数的下一个更大数的下标。

1|0思路

• 维护一个单调递减的栈，即栈顶永远是大于等于目前元素的最小值
• 每次插入元素与栈顶进行比较
  • 大于等于栈顶
    • 栈顶不停出栈，直到该元素小于栈顶或栈为空。
    • 出栈的每一个栈顶，对应的答案都是该元素。
  • 小于栈顶
    • 入栈

1|0时间复杂度

从出栈入栈的角度切入分析，所有元素都只会出栈一次，入栈一次，所以复杂度就是 $\mathrm{O}(n)$

1|0代码

template <class T, class Cmp = std::greater_equal<T>> // >=
class MonotonyStack
    : private std::stack<std::pair<T, int>, std::vector<std::pair<T, int>>> {
    static constexpr Cmp cmp = Cmp();

public:
    MonotonyStack(const T &val, int id) {
        this->emplace(val, id);
    }

    int push(const T &val, int id) {
        while (this->empty() == false and cmp(this->top().first, val)) {
            this->pop();
        }

        assert(this->empty() == false);
        int result = this->top().second;

        this->emplace(val, id);

        return result;
    }
};

void solve()
{
// #define tests
    int n; std::cin >> n;
    std::vector<int> a(n); for (auto& ai : a) {std::cin >> ai;}
    MonotonyStack<int, std::less_equal<int>> monostack(1E9, -1);
    std::vector<int> res(n);
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        res[i] = monostack.push(a[i], i);
    }
    for (auto& x : res) {std::cout << x + 1 << ' ';} std::cout << '\n';
}

3|0最大矩形面积

D-Largest Rectangle in a Histogram_0x11 基本数据结构-栈 (nowcoder.com)

1|0思路

考虑维护每一个元素 $i$ 左端第一个比它小的下标 $l_i$ 及右端第一个比它小的下标 $r_i$。

显然可能的面积就是 $a_i\times (r_i-l_i-1)$

1|0代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main() {
    int n;
    while(cin >> n && n) {
        vector<int> a(n + 2);
        vector<int> l(n + 2), r(n + 2);
        for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
        a[n + 1] = 0;
        long long ans = 0;
        stack<int> st;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            while(!st.empty() && a[i] <= a[st.top()]) {
                st.pop();
            }
            if (!st.empty()) l[i] = st.top();
            else l[i] = 0;
            st.push(i);
        }
        while(!st.empty()) st.pop();
        for (int i = n; i; i--) {
            while(!st.empty() && a[i] <= a[st.top()]) {
                st.pop();
            }
            if (!st.empty()) r[i] = st.top();
            else r[i] = n + 1;
            st.push(i);
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            ans = max(ans, 1LL * a[i] * (r[i] - l[i] - 1));
        }
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}

4|0CF1730C

Minimum Notation - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

1|0题意

给定一个仅包含 $0$ 到 $9$ 这几个数字的字符串，你可以执行以下操作任意次：

选择字符串中的一个数字 $d$，将 $d$ 删除后，向字符串任意位置插入一个数字 $min(d+1,9)$

求能够得到的字典序最小的字符串。

1|0思路

想要让字典序最小，就要尽可能将小的数放在前面。每次执行一次操作后，我们都会让一个数变大，只有变大后把它放在字符串后面，让一个更小的数能到前面来，他才能更优。

维护一个单调栈，将弹出的元素 $d=min(d+1,9)$ 全部存入一个 vector 中，将所有元素排序。最后输出答案，在输出单调栈中元素的同时，输出 vector 中与之相等的元素，因为已经排完序了，直接从前向后扫即可。

void solve() {
    string s;
    stack<char> st;
    vector<char> els,ans;
    cin >> s;
	int len = s.length();
	for(int i = 0;i < len;i++) {
		while(!st.empty() && st.top() > s[i]) {
			els.push_back(min((char)(st.top() + 1),'9'));
			st.pop();
		}
		st.push(s[i]);
	}
	while(!st.empty()) {
		ans.push_back(st.top());
		st.pop();
	}
	sort(els.begin(),els.end());
	int pos = 0;
	for(int i = ans.size() - 1;i >= 0;i--) {
		cout << ans[i];
		while(pos < els.size() && els[pos] >= ans[i] 
        && els[pos] <= ans[i-1] && i > 0) cout << els[pos++];
	}
	for(int i = pos;i < els.size();i++) cout << els[i];
	cout << endl;
	return;
}

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本文作者：Kdlyh
本文链接：https://www.cnblogs.com/kdlyh/p/17976128.html
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