差分

1|0本质思想

构造一个 $b$ 数组， 满足 $a$ 数组是 $b$ 数组的前缀和。
差分是前缀和的逆运算。

2|0P2367 语文成绩

P2367 语文成绩 - 洛谷

暴力模拟过不了，时间复杂度是 $\mathrm{O}(n^2)$。

2|1差分思想

• 对于数组 $a$，定义 $a$ 的差分数组为 $b$，其中 $b_1=a_1,b_i=a_i-a_{i-1}(2\le i\le n)$

$i$	1	2	3	4	5	6	7	8
$a_i$	1	1	2	2	1	3	3	5
$b_i$	1	0	1	0	-1	2	0	2

• 对数组 $b$ 求前缀和：

  $$\sum _{i=1}^n{b}_i=a_1+\sum _{i=2}^n(a_i-a_{i-1})=\sum _{i=1}^n{a}_i-\sum _{i=1}^{n-1}{a}_i=a_n$$

• 可以发现

  • 若将 $b_x$ 增加 $1$，再对 $b$ 数组求前缀和得到 $a$ 数组，那么得到的 $a$ 数组中 $a_x,a_{x+1},\dots ,a_n$ 均增加 $1$。

  • 若将 $b_y$ 减少 $1$，再对 $b$ 数组求前缀和得到 $a$ 数组，那么得到的 $a$ 数组中 $a_y,a_{y+1},\dots ,a_n$ 均减少 $1$。

  • 例如，对于一个全为 $0$ 的差分数组 $b$，若将 $b_3$ 增加 $1$，将 $b_6$ 减少 $1$，得到的 $a$ 数组如表所示：

    $i$	1	2	3	4	5	6	7	8
    $b_i$	0	0	+1	0	0	-1	0	0
    $a_i$	0	0	1	1	1	0	0	0

• 因此，将 $a$ 数组中第 $x$ 元素到第 $y$ 元素增加 $z$ 的修改操作，可以转化为将 $b_x$ 增加 $z$，$b_{y+1}$ 减少 $z$，最后再对 $b$ 数组求前缀和。

• 这样，对于每次修改操作，只需要修改 $2$ 个点，时间复杂度变为 $\mathrm{O}(1)$。

• 同时，因为只有在最后一次修改操作才需要得到 $a$ 数组的具体值，所以只需要所有修改操作结束后求一次前缀和即可。

2|2代码实现

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>

const int N = 5e6 + 10;

int n, m, x, y, z, a[N], b[N];

int main()
{
 	std::ios::sync_with_stdio(false);
	std::cin.tie(nullptr);
	std::cout.tie(nullptr);
	std::cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++) std::cin >> a[i], b[i] = a[i] - a[i - 1];
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		std::cin >> x >> y >> z; b[x] += z, b[y + 1] -= z; 
	}
	int min = 0x7fffffff;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		b[i] += b[i - 1]; min = std::min(min, b[i]);
	}
	std::cout << min;
	return 0;
}

3|0P3397 地毯

P3397 地毯 - 洛谷

3|1差分思想

设数组 $a$ 的差分数组为 $b$ ，其中 $a_{x,y}=\sum _{i=1}^x\sum _{j=1}^y{b}_{i,j}$，用前缀和知识可知：

$$b_{x,y}=a_{x,y}-a_{x-1,y}-a_{x,y-1}+a_{x-1,y-1}$$

将 $b_{2,2}$ 增加 $1$，再求二维前缀和，效果如图 $a\to b$。

单独考虑一次覆盖操作，地毯左上角为 $(x_1,y_1)$，右下角为 $(x_2,y_2)$。可以转化为：

• 将 $b_{x_1,y_1},b_{x_2+1,y_2+1}$ 增加 $1$。
• 将 $b_{x_1,y_2+1},b_{x_2+1,y_1}$ 减少 $1$。
• 当地毯左上角为 $(2,2)$ 右下角为 $(3,3)$ 修改操作如图 $c\to d$。

3|2代码实现

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>

const int N = 1e3 + 10;
int n, m;
int a[N][N];
int x1, y1, x2, y2;

int main()
{
 	std::ios::sync_with_stdio(false);
	std::cin.tie(nullptr);
	std::cout.tie(nullptr);
	std::cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		std::cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
		a[x1][y2 + 1]--, a[x2 + 1][y1]--;
		a[x1][y1]++, a[x2 + 1][y2 + 1]++;
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++, std::cout << std::endl)
	{
		for (int j = 1; j <= n; j++)
		{
			a[i][j] += a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1];
			std::cout << a[i][j] << " ";
		}
	}
	return 0;
}

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本文作者：Kdlyh
本文链接：https://www.cnblogs.com/kdlyh/p/17893701.html
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