扩展欧几里得算法

1|0扩展欧几里得算法

1|1裴蜀定理（Bézout's lemma）

1|0定义

设 $a,b$ 是不全为零的整数，对任意整数 $x,y$，满足 $gcd(a,b)\mid ax+by$，且存在整数 $x,y$, 使得 $ax+by=gcd(a,b)$.

1|0证明

对于第一点

由于 $gcd(a,b)\mid a,gcd(a,b)\mid b$

所以 $gcd(a,b)\mid ax,gcd(a,b)\mid by$，其中 $x,y$ 均为整数

因此 $gcd(a,b)\mid ax+by$

对于第二点

在欧几里得辗转相除求 $gcd$的最后一步，即 $b=0$ 时：

显然有一对整数 $x=1,y=0$，使得 $a\times 1+0\times 0=gcd(a,0)$。

若 $b>0$，则 $gcd(a,b)=gcd(b,a\mathrm{mod}b)$

假设存在一对整数 $x,y$,满足 $b\times x+(a\mathrm{mod}b)\times y=gcd(b,a\mathrm{mod}b)$

因为 $bx+(a\mathrm{mod}b)y=bx+(a-b\lfloor a/b\rfloor )y=ay-b(x-\lfloor a/b\rfloor y)$

所以令 $x^{\prime }=y,y^{\prime }=x-\lfloor a/b\rfloor y$,就得到了$a{x}^{\prime }+b{y}^{\prime }=gcd(a,b)$

对上述过程用数学归纳法，得证。

1|0扩展欧几里得算法

由上述证明可以推出如何求 $x,y$。

int exgcd(int a,int b,int &x, int &y)
{
	if (b == 0) {x = 1, y = 0; return a;}
    int d = exgcd(b, a % b, x, y);
    int z = x; x = y; y = z - y * (a/b);
    return d;
}

定义变量 $d,x_0,y_0$，调用 d = exgcd(b, a % b, x, y);。注意在上述代码中，$x_0,y_0$ 是以引用方式传递的。上述程序求出方程 $ax+by=gcd(a,b)$ 的一组特解 $x_0,y_0$，并返回 $a,b$ 的最大公约数 $d$。

对于更为一般的方程 $ax+by=c$，它有解当且仅当 $d|c$。我们可以先求出 $ax+by=d$ 的一组特解 $x_0,y_0$，然后令 $x_0,y_0$ 同时乘上 $c/d$，就得到了 $ax+by=c$ 的一组特解 $(c/d)x_0,(c/d)y_0$。

事实上，方程 $ax+by=c$ 的通解可以表示为：

$$x=\frac{c}{d}{x}_0+k\frac{b}{d},y=\frac{c}{d}{y}_0-k\frac{a}{d}(k\in \text{Z})$$

其中 $k$ 取遍整数集合，$d=gcd(a,b)$，$x_0,y_0$ 是 $ax+by=gcd(a,b)$ 的一组特解。

1|2乘法逆元

若整数 $b,m$ 互质，并且 $b\mid a$，则存在一个整数 $x$，使得 $a÷b\equiv a\times x\mathrm{mod}m$。称 $x$ 为 $b$ 的模 $m$ 乘法逆元，记为 $b^{-1}\mathrm{mod}m$

因为

$$a÷b\equiv a\times b^{-1}\equiv a÷b\times b\times b^{-1}\mathrm{mod}m$$

所以

$$b\times b^{-1}\equiv 1\mathrm{mod}m$$

如果 $m$ 是质数（此时用符号 $p$ 代替 $m$）并且 $b<p$，根据费马小定理，$b^{p-1}\equiv 1\mathrm{mod}p$，即 $b\times b^{p-2}\equiv 1\mathrm{mod}p$。

因此，当模数 $p$ 为质数时，$b^{p-2}$ 即为 $b$ 的乘法逆元。

如果只是保证 $b,m$ 互质，那么乘法逆元可通过求解同余方程 $b\times x\equiv 1\mathrm{mod}m$ 得到。

这里先按照推出的结论，给出用快速幂求逆元

int qpow(long long a, int b) {
      int ans = 1;
      a = (a % p + p) % p;
      for (; b; b >>= 1) 
      {
            if (b & 1) ans = (a * ans) % p;
            a = (a * a) % p;
      }
      return ans;
}

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本文作者：Kdlyh
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