算数基本定理

1|0算数基本定理

1|1定理

对于整数 $a>1$，必有 $a=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}\dots p_s^{a_s}$，其中 $p_j(1\le j\le s)$ 是两两不相等的质数，$a_j(1\le j\le s)$ 表示对应质数的幂次。在不计次序的意义下，该分解式是唯一的。

运用于质因数分解：

int Decomposition(int x, int a[])
{
	int cnt = 0;
    for (int i = 2; i <= x / i; i++)
    {
		for (; x % i ==0; x /= i)
        {
            a[++cnt] = i;
        }
    }
    if (x > 1) a[++cnt] = x;
    return cnt;
}

1|2推论

1. $d$ 是 $a$ 的约数的充要条件是 $d=p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}\dots p_s^{e_s},0\le e_j\le a_j,1\le j\le s$，即 $d$ 中每个质数的幂次都不超过 $a$ 中每个质数的幂次。

   1. 每个质因子上的幂次直接决定了两数之间的整除性。
   2. $12=2^2\times 3,72=2^3\times 3^2$，看到 $12$ 的质因子上的每个幂次都对应地比 $72$ 小，便可以在进行取模运算的情况下给出 $12|72$ 的结论。

2. 若 $b=p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}\dots p_s^{e_s}$，（这里允许某些 $a_j$ 或 $e_j$ 为零），那么 $(a,b)=p_1^{d_1}{p}_2^{d_2}\dots p_s^{d_s},d_j=min(a_j,e_j),1\le j\le s$，以及$[a,b]=p_1^{y_1}{p}_2^{y_2}\dots p_s^{y_s},y_j=min(a_j,e_j),1\le j\le s$

   1. $10=2\times 5,16=2^4$

      1. $(10,16)=2^{min(1,4)}\times 5^{min(1,0)}=2^1\times 5^0=2$

      2. $[10,16]=2^{max(1,4)}\times 5^{max(1,0)}=2^4\times 5^1=80$

      3. $$\begin{gathered} (10,16)[10,16]=2^{min(1,4)}\times 5^{min(1,0)}\times 2^{max(1,4)}\times 5^{max(1,0)} \\ =2^{min(1,4)+max(1,4)}\times 5^{min(1,0)+max(1,0)} \\ =2^{1+4}\ast 5^{1+0} \\ 10\times 16=2\times 5\times 2^0=2^{1+4}\times 5^{1+0} \end{gathered}$$

      4. 这刚好证明了 $[a_1,a_2](a_1,a_2)=a_1{a}_2$，本质上是 $min(a,b)+max(a,b)=a+b$。

3. 用除数函数 $r(a)$ 表示 $a$ 的所有正约数的个数，则 $r(a)=(a_1+1)(a_2+1)\dots (a_s+1)=r(p_1^{a_1})\dots r(p_1^{a_s})$

   1. 即推论1.的推论，对于每个质因子上的幂次，可以取 $0$ 到 $a_i$ 中的任意整数，共有 $a_i+1$ 个。由乘法原理可以直接得出。
   2. 如 $a=2^7\times 3^8\times 5^9$，可以直接写出 $a$ 的因子个数 $(7+1)(8+1)(9+1)=720$
   3. 第二个等号展现了质因子的“独立性”。

4. 用除数和函数 $o(a)$ 表示 $a$ 的所有正约数的和，则 $o(a)=\frac{p_1^{a_1+1}-1}{p_1-1}\dots \frac{p_1^{a_s+1}-1}{p_1-1}=o(p_1^{a_1})\dots o(p_1^{a_s})$。

   1. 亦为推论1.的推论，对于 $a=120=2^3\times 3\times 5$ 的因子分别是 $1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120$。

   2. 然后用等比数列求和公式($\frac{p_1^{a_1+1}-1}{p_1-1}=1+p_1+\cdots +p_1^{a_1}$)展开那个算式。

      $o(120)=\frac{2^4-1}{2-1}\frac{3^2-1}{3-1}\frac{5^2-1}{5-1}=(2^3+2^2+2^1+1)(3^1+1)(5^1+1)$

      最后再展开括号，即为所有因数。

1|3例题

P1069 [NOIP2009 普及组] 细胞分裂

即对推论一的应用。

由推论一可得，当 $m_1^{m_2}$ 中每个质因子的幂次都比 $S_i^{x_i}$ 小时，$m_1^{m_2}|S_i^{x_i}$ 成立。 $S_i^{x_i}$ 中的质因子是否出现由 $S_i$ 决定，而质因子出现了几次主要由 $x_i$ 决定。若 $S_i=p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}\dots p_s^{e_s}{p}_{s+1}^{e_{s+1}}\dots p_{s+r}^{e_{s+r}}$（$p_{s+1}$ 到 $p_{s+r}$ 表示与 $m_1$ 无关的质因子），那么 $x_i$ 应该使得对于所有的 $i\le j\le s$ 的 $j$，满足 $a_j{m}_2\le e_j{x}_i$。

所以从 $m_1$ 中的质因子 $p_j$ 出发：

• 如果这个 $s_i$ 不能整除 $p_j$，则说明 $s_i$ 不包含这个质因子，进而说明不符合题目要求
• 如果这个 $s_i$ 能整除 $p_j$，那么只要求出对应的 $e_j$，就能算出第 $j$ 个质因子，要求 $x_i$ 不小于 $\lceil \frac{a_j{m}_2}{e_j}\rceil$，再对所有这样的要求取最大值，就得到了 $x_i$，最后对所有合法的 $x_i$ 取最小值就是答案。

#include <bits/stdc++.h>

#define maxn 10010

int m1, m2, n, pri[maxn], tot[maxn], a[maxn];

int Decomposition(int x)
{
	int cnt = 0, Cnt = 0;
	for (int i = 2; i * i <= x; i++)
	{
		for (; x % i == 0; x /= i)
		{
			a[++cnt] = i;
		}
	}
	if (x > 1)
		a[++cnt] = x;
	for (int i = 1; i <= cnt; i++, tot[Cnt]++)//tot记录对应质数的次数
	{
		if (a[i] != a[i - 1])
			pri[++Cnt] = a[i];//pri记录m1中出现的质数
	}
	return Cnt;
}

int main()
{
	std::cin >> n >> m1 >> m2;
	int cnt = Decomposition(m1), ans = 2e9, s;
	while (n--)
	{
		std::cin >> s;
		int x = 0;
		for (int i = 1; i <= cnt; i++)
		{
			int p = pri[i];
			if (s % p != 0)
			{
				x = -1;
				break;
			}
			else
			{
				int e = 0;
				for (; s % p == 0; s /= p)
					e++;
				x = std::max(x, 1 + (m2 * tot[i] - 1) / e);
			}
		}
		if (x >= 0)
			ans = std::min(ans, x);
	}
	if (ans >= 2e9)
	{
		puts("-1");
	}
	else
	{
		printf("%d", ans);
	}
}

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本文作者：Kdlyh
本文链接：https://www.cnblogs.com/kdlyh/p/17874403.html
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