整除基本知识

1|0整除基本知识

1|1性质

• 若$a|b$ 且 $b|c$，则 $a|c$。
• 若$a|b$ 且 $b|c$，则 对于任意的整数 $x、y$，有 $a|(bx+cy)$
• 对于整数 $m\ne 0$，$a|b\leftrightarrow b|a$

1|2寻找约数

1|0暴力

for (int i = 1; i <= n; i++)
{
	if (x % i == 0) ans[++cnt] = i;
}

1|0优化

约数肯定是成对出现的。

对于 $120$。

如 $2,60$

即如果 $k$ 是 $n$ 的约数，那么 $\frac{n}{k}$ 也一定是 $n$ 的约数。

不妨设 $k$ 是较小的一个（为了优化枚举时间），那么显然。

$$k\le \frac{n}{k}$$

$$k\le \sqrt{n}$$

那么对 $k$ 枚举，时间复杂度就降低到了 $\mathrm{O}(\sqrt{n})$。

int find_divisors(int n, int a[])
{
	int cnt = 0;
    for (int k = 1; k * k <= n; k++)
    {
		if (n % k == 0)
        {
			a[++cnt] = k;
            if (k != n / k) a[++cnt] = n / k;
        }
    }
    return cnt;
}

1|3数列中的倍数数

P2926 USACO08DEC Patting Heads S

从枚举倍数的角度思考：对于一个数 $i$ 若它在原数组中出现了 $c[i]$ 次，那么 $i$ 这个数会对它的每一个倍数产生 $c[i]$ 的贡献。这样就可以通过查询这样产生的贡献的总和来计算答案了，其时间复杂度为：

$$O(nlogn)$$

1|0代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int Maxn=1000100;//数组大小
const int Bignumber=1000000;
int n,a[Maxn],c[Maxn],w[Maxn];//n个数，数列，数字统计容器，贡献值
int main() {
	scanf("%d",&n);//输入
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		scanf("%d",&a[i]);//输入数列
		c[a[i]]++;
	}
	for(int i=1;i<=Bignumber;i++) 
		for(int j=i;j<=Bignumber;j+=i)
			w[j]+=c[i];//i这个数会对j产生c[i]的贡献
	for(int i=1;i<=n;i++) 
		printf("%d\n",w[a[i]]-1);//输出时要把a[i]对自己的贡献减去
	return 0;
}

1|4快速求因子数

1|0依靠两个结论

• 一个正整数一定能分解为若干质数$n$次方的乘积。
• 一个数的因子数等于该数分解为若干质数$n$次方的乘积后每个质数的次方数加一的乘积。

1|0举个例子

$$120=2^3\times 3\times 5$$

那么因子数则是$(3+1)\times (1+1)\times (1+1)=16$。

1|0代码实现

ll getInShu(ll n)
{
    ll ans = 1;
	for (int i = 2; i * i <= n; i++)
	{
		if (n % i == 0)//质因数分解
		{
			ll cnt = 0;//即这个因数的次方
			while(n % i == 0)
			{
				++cnt;
				n /= i;
			}
			ans = (ans mod) * ((cnt + 1) mod);
			ans = ans mod;
		}
	}
	if (n != 1)//说明剩下最后一个质因数
	{
		ans *= 2;
	}
	return ans mod;
}

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本文作者：Kdlyh
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