组合数

1|0组合数

1|1基本做法

先看看不做预处理计算一个组合数：

int C(int r, int n)
{
    int ans = 1;
    for (int i = 1; i <= r; i++)
    {
		ans *= n - i + 1;
        ans /= i;
    }
    return ans;
}

1|2预处理组合数

针对大多数仅仅是利用组合数求解问题的题目运用递推法打表，不仅方便，而且可以稳稳地控制复杂度，对于需要多次引用组合数的题目效果极佳：

基于组合数公理性质：

C_{n}^{m} = C_{n}^{n - m}

推得：

C_{n}^{m} = C_{n - 1}^{m - 1} + C_{n - 1}^{m}

由这个递推公式就可以熟练的写出组合数代码，但要注意初始化:

C_{0}^{0} = 0

C_{0}^{i} = C_{0}^{1} = C_{1}^{1} = 1

同时，把表打出来后，我们会发现这就是杨辉三角，这个三角可以解决很多问题，记住打印三角的方法也可以打出组合数。

inline void build()
{
      c[0][0]=1;
      c[1][0]=c[1][1]=1;//如上初始化，绝对绝对不能忘记或错，结合常识。
      for(int i=2;i<=2000;i++)
      {
            c[i][0]=1;
            for(int j=1;j<=2000;j++)
          		c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];//递推公式。
      }
}

1|3例题

P2822 [NOIP2016 提高组] 组合数问题

这题还需要再用前缀和来优化查询速度
前缀和可以有效减少查询统计时的复杂度，每一次查询 $O (n)$ 降到 $O (1)$
记住：上加左减左上加自己
$a n s [i] [j] = a n s [i] [j - 1] + a n s [i - 1] [j] - a n s [i - 1] [j - 1]$

inline void build()
{
  c[0][0]=1;
  c[1][0]=c[1][1]=1;
  for(int i=2;i<=2000;i++)
  {
    c[i][0]=1;
    for(int j=1;j<=i;j++)
    {
      c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%k;
      ans[i][j]=ans[i-1][j]+ans[i][j-1]-ans[i-1][j-1];//前缀和。
      if(!c[i][j])ans[i][j]++;//如果满足结论，计数加一。
    }
    ans[i][i+1]=ans[i][i];//继承。
  }
}
inline void solve()
{
  t=read(),k=read();
  build();
  while(t--)
  {
    n=read(),m=read();
    if(m>n)printf("%lld\n",ans[n][n]);//如果m>n,ans只会达到n，只需输出ans[n,n]就可以了。
    else printf("%lld\n",ans[n][m]);
  }
}

需掌握组合数的基本两种求解方法(通项公式，递推公式），根据数据范围选定方法。
结合数据范围找到优化方法，无论是取模还是自己的玄学优化都尝试一下.(建议取模输出的题，绝对不要乱模！既费时又易错)
掌握前缀和，利用前缀和对降维的作用。

P1246 编码

拿 cgx 举例，设 $a n s$ 为比 cgx 小的单词个数，初值为 $0$ 。

$1.$ 首先，cgx 肯定比只有一个字母的单词大， $a n s + 26, a n s = 26$ 。

$2.$ 其次，cgx 肯定比只有两个字母的单词大。

只有两个字母的单词个数该怎么算呢？就是在 $26$ 个字母中选 $2$ 个。

$a n s + C_{26}^{2}, C_{26}^{2} = \frac{26 * 25}{2 * 1} = 325, a n s = 26 + 325 = 351$ 。

$3.$ 只有三个字母

$3.1 .$ 第一位：它比以字母 a-b 为第一位的大（ cgx 第一位为 c，所以要比 c 小）

以 a 为第一位，且有三位的单词个数： $C_{25}^{2} = \frac{25 * 24}{2 * 1} = 300$ 。

从比 a 大的剩下 $25$ 个字母中选 $2$ 个字母：
$a n s + 300, a n s = 351 + 300 = 651$ 。
以 b 为第一位，且有三位的个数： $C_{24}^{2} = \frac{24 * 23}{2 * 1} = 276$ 。

从比 $b$ 大的剩下 $24$ 个字母中选 $2$ 个字母： $a n s + 276, a n s = 651 + 276 = 927$ 。

$3.2$ 第二位（即第一位已经确定为 $c$ ）：它比以字母 d-f 为第二位的单词大（第一位为 c ，所以要比 c 大，第二位为 g，所以要比 g 小）

第二位为 d 的个数： $C_{22}^{1} = \frac{22}{1} = 22$ 。

从比 d 大的剩下 $22$ 个字母中选 $1$ 个字母： $a n s + 22, a n s = 927 + 22 = 949$ 。
第二位为 e 的个数： $C_{21}^{1} = 21, a n s + 21, a n s = 949 + 21 = 970$ 。
第二位为 f 的个数： $C_{20}^{1} = 20, a n s + 20, a n s = 970 + 20 = 990$ 。

$3.3$ 第三位（一，二位已经确定）：它比以字母 h-w 为第三位的大，共有 $16$ 个。

\sum_{n = 8}^{23} C_{n}^{0} = \sum_{n = 8}^{23} 1 = 16 * 1 = 16

$a n s + 16, a n s = 990 + 16 = 1006$

因为比 cgx 小的单词共有 $1006$ 个，所以 cgx 是第 $1007$ 个。

先判断该单词是否存在，再一位一位地去考虑共有多少比给出单词小的单词，如果用的是字符串，则还需要考虑一下边界问题。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
string s;
int ans,n;
int c(int m,int n)//组合数计算 
{
	if(m==0)return 1;
	int mut=1;
	for(int i=n;i>n-m;i--)mut*=i;
	for(int i=m;i>1;i--)mut/=i;
	return mut;
}
int main()
{
	cin>>s,n=s.size();
	for(int i=1;i<n;i++)
		if(s[i]<=s[i-1])cout<<0,exit(0);//判断是否存在
	for(int i=1;i<n;i++)ans+=c(i,26);//计算出位数比它小的单词数
	for(int i=0;i<n;i++)//枚举每一位
		for(char j=(i==0?'a':s[i-1]+1);j<s[i];j++)//注意考虑边界
			ans+=c(n-i-1,'z'-j);//因为字符串下标从0开始，所以是n-i-1而不是n-i
	cout<<++ans;//别忘了最后把自己加上
	return 0;
}

__EOF__

本文作者：Kdlyh
本文链接：https://www.cnblogs.com/kdlyh/p/17871761.html
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