P1004 [NOIP2000 提高组] 方格取数

1|0P1004 [NOIP2000 提高组] 方格取数

1|1基本思路

我想的是搞两次二维 DP 第一次搞完之后把走过的删掉，然后搞第二次，然而只有 $80pts$

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>

using namespace std;

int n;
int x, y, t;
int a[11][11];
int dp1[11][11],dp2[11][11];
pair<int , int> g[11][11];

int main()
{
	cin >> n;
	while(cin >> x >> y >> t)
	{
		if (x == 0 && y == 0 && t == 0) break;
		a[x][y] = t;
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= n; j++)
		{
			if (dp1[i - 1][j] + a[i][j] > dp1[i][j - 1] + a[i][j])
			{
				dp1[i][j] = dp1[i - 1][j] + a[i][j];
				g[i][j] = {i - 1, j};
			} 
			else 
			{
				dp1[i][j] = dp1[i][j - 1] + a[i][j];
				g[i][j] = {i, j - 1};
			}
		}
	}
	int i = n, j = n, tx, ty;
	a[n][n] = 0;
	while(g[i][j].first != 0 || g[i][j].second != 0)
	{
		tx = g[i][j].first, ty =g[i][j].second;
		a[tx][ty] = 0;
		i = tx, j = ty;	
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= n; j++)
		{
			dp2[i][j] = max(dp2[i - 1][j] + a[i][j], dp2[i][j - 1] + a[i][j]);
		}
	}
	cout << dp1[n][n] + dp2[n][n];
	return 0;
}

1|2证伪

1|0理论错误

• 题意要求两次走过的和最大。

  • 即对两次走过整个过程的动态规划

• 而我的做法是以第一次为第一关键字， 第二次为第二关键字定义下的最大。

  • 即分开对每次动态规划，对总过程实际上是贪心。

1|0例子

0	2	1
1	2	0
0	0	0

• 我的做法
  • 第一次取 $2+2=4$
  • 第二次只能取 $1$
  • 总和为 $5$
• 正确做法
  • 第一次取 $2+1=3$
  • 第二次取 $1+2=3$
  • 总和为 $6$

1|3改进思路

1|0两条路同时动态规划

• 状态方程

  • $F_{x_1,y_1,x_2,y_2}$ 表示第一条路走到 $(x_1,y_1)$，第二条路走到 $(x_2,y_2)$时的最优解。

• 状态转移

  $$F_{x_1,y_1,x_2,y_2}=max(F_{x_1-1,y_1,x_2-1,y_2},F_{x_1-1,y_1,x_2,y_2-1},F_{x_1,y_1-1,x_2-1,y_2},F_{x_1,y_1-1,x_2,y_2-1})+ma{p}_{x_1,y_1}+ma{p}_{x_2,y_2}$$
  • 当然，如果两条路走到同一处就会加两次 $map$，要特判减去一次。

1|0AC代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>

using namespace std;

int MAX(int a, int b, int c, int d)
{
	return max(max(a,b),max(c,d));
}

int n;
int x, y, t;
int a[11][11];
int F[11][11][11][11];

int main()
{
	cin >> n;
	while(cin >> x >> y >> t)
	{
		if (x == 0 && y == 0 && t == 0) break;
		a[x][y] = t;
	}
	for (int x1 = 1; x1 <= n; x1++)
	{
		for (int y1 = 1; y1 <= n; y1++)
		{
			for (int x2 = 1; x2 <= n; x2++)
			{
				for (int y2 = 1; y2 <= n; y2++)
				{
					F[x1][y1][x2][y2] = MAX(F[x1 - 1][y1][x2 - 1][y2], F[x1 - 1][y1][x2][y2 - 1], F[x1][y1 -1][x2 -1][y2], F[x1][y1 - 1][x2][y2 - 1]) + a[x1][y1] + a[x2][y2];
					if (x1 == x2 && y1 == y2) F[x1][y1][x2][y2] -= a[x1][y1];
				}
			}
		}
	}
	cout << F[n][n][n][n];
	return 0;
}

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本文作者：Kdlyh
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