DP查缺补漏之LCS状态重叠

1|0DP查缺补漏之LCS状态重叠

1|1状态假设

$F[i][j]$为$a$串中前$i$个字符，$b$串中前$j$个字符构成的$LCS$

1|2状态转移

• $F[i-1][j-1]+1$

  • 即当且仅当$a[i]=b[j]$时，从两个序列的减去当前的字符加一推出

• $F[i-1][j]$

  • 不选$a[i]$，只选$b[j]$

• $F[i][j-1]$

  • 不选$b[j]$，只选$a[i]$

• $F[i-1][j-1]$

  • 不选$a[i]$，不选$b[j]$

1|3状态重叠

1|0F[i−1][j]为例

实际上并非确切的就是不选$a[i]$，只选$b[j]$的情况，但是这种情况是包含于$F[i-1][j]$，即$a$串中前$i-1$个字符，$b$串中前$j$个字符构成的$LCS$中的，而该问题求解最大值，重叠状态并不影响最大值的计算。

1|4代码实现

for (int i = 1; i <= n; i++)
{
    for (int j = 1; j <= m; j++)
    {
        F[i][j] = max(F[i - 1][j], F[i][j - 1]);
        if (a[i] == b[j])
        {
			F[i][j] = max(F[i][j], F[i - 1][j - 1] + 1);
        }
    }
}

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本文作者：Kdlyh
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