DP查缺补漏之完全背包优化原理

DP查缺补漏之完全背包优化原理

先复习一下基本知识

• 状态假设

  • DP[I][J]为前\(i\)个物品，容量小于\(j\)时的最优解（最大价值）

• 状态转移

  • DP[I][J] = max(DP[I - 1][J], DP[I - 1][J - k*V[I]] + k*W[I])
    • 对于第\(i\)个物品，两种可能
      • 装入背包(装入\(1 \sim S_i(S_i * V[i] <= j)\)个)
  • 不装入背包
    • 则状态应通过前\(i - 1\)个物品，容量小于\(j\)时的最优解直接进行转移

• 代码处理

  • for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
    	for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
    		for (int k = 0; k * v[i] <= j; k++)
            {
    			DP[i][j] = max(DP[i][j], DP[i - 1][j - v[i] * k] + w[i] * k);
            }
    	}
    }
    

优化思路（时间和空间）

• 时间复杂度

  • 从状态方程分析

    • DP[I][J] = max(DP[I - 1][J], DP[I-1][J-V] + W, DP[I-1][J-2V] + 2W, ... , DP[I-1][J-NV] + NW)
    • DP[I][J-V] = MAX( DP[I-1][J-V], DP[I-1][J-2V] + 1W, ... , DP[I-1][J-NV] + (N-1)W)
      • 每一项都比DP[I][J]小一个W，最大值即DP[I][J-V]与DP[I][J]相差一个W。
    • DP[I][J] = DP[I,J-V] + W

  • 用新转移方程实现

    • for (int i = 1; i <= n; i++)
      {
      	for (int j = 0; j <= m; j++)
          {
              DP[i][j] = DP[i - 1][j];
              if (j >= v[i])
                  DP[i][j] = max(DP[i][j], DP[i][j - v[i]] + w[i]);
          }
      }
      

    • 注意右边那项是DP[i][j - v[i]] + w[i]，这与01背包不同。

• 空间复杂度

  • 从状态方程分析

    • DP[i][j] = max(DP[i][j], DP[i][j - v[i]] + w[i])
    • 仍然可以优化空间，但是与01不同的是这个方程并非滚动，本次的大答案只能由本次的小答案推出，所以第二层for应从小到大枚举

  • 代码实现

    • for (int i = 1; i <= n; i++)
      {
      	for (int j = v[i]; j <= m; j++)
          {
               DP[j] = max(DP[j], DP[j - v[i]] + w[i]);
          }
      }