二叉树
二叉树的定义
二叉树(binary tree)是指树中节点的度不大于2的有序树,它是一种最简单且最重要的树。二叉树的递归定义为:二叉树是一棵空树,或者是一棵由一个根节点和两棵互不相交的,分别称作根的左子树和右子树组成的非空树;左子树和右子树又同样都是二叉树。
满二叉树:如果一棵二叉树只有度为0的结点和度为2的结点,并且度为0的结点在同一层上,则这棵二叉树为满二叉树(既有左子树又有右子树的二叉树)。
二叉树的五种基本形态
- 空二叉树
- 只有一个根结点的二叉树
- 只有左子树的二叉树
- 只有右子树的二叉树
- 层数大于1的满二叉树(既有左子树又有右子树的二叉树)
二叉树的相关术语
二叉树是特殊的树,故树中的术语可以在二叉树中使用。
- 结点:也称为节点,包含一个数据元素及若干指向子树分支的信息。
- 结点的度:一个结点拥有子树的数目称为结点的度,二叉树的结点度最少是0,最多是2。
- 叶子结点:也称为终端结点,没有子树的结点或者度为零的结点。
- 分支结点:也称为非终端结点,度不为零的结点称为非终端结点。
- 树的深度:也称为树的高度,树中所有结点的层次最大值称为树的深度。
- 结点的层次:从根结点开始,假设根结点为第1层,根结点的子节点为第2层,依此类推,若某一个结点位于第L层,则其子节点位于第L+1层。
二叉树的性质
- 叶子结点只能出现在最下两层
- 倒数第二层若有叶子结点,一定都在右部连续位置
- 若结点度为1,则该结点只有左孩子,即不存在只有右孩子的情况
- 同样结点数的二叉树,完全二叉树的深度最小
拓展:
- 一棵非空二叉树的第\(i\)层上最多有\(2^{i-1}\)个结点\((i>=1)\)
- 一棵深度为\(k\)的二叉树中,最多有\(2^k-1\)个结点
- 对于一棵非空的二叉树,如果叶子结点数为\(n_0\),度数为2的结点数为\(n_2\),则有\(n_0=n_2+1\)
- 对于具有\(n\)个结点的完全二叉树,如果按照从上至下和从左到右的顺序对二叉树中的所有结点从1开始编号,则对于任意序号为\(i\)的结点:
-
如果\(i>1\),序号为\(i\)的父节点的序号为\(i\)整除2;
如果\(i=1\),序号为\(i\)的结点是根节点。 -
如果\(2i<=n\),序号为\(i\)的结点有左孩子,左孩子结点的序号为\(2i\);
如果\(2i>n\),序号为\(i\)的结点无左孩子。 -
如果\(2i+1<=n\),序号为\(i\)的结点的右孩子结点的序号为\(2i+1\);
如果\(2i+1>n\),序号为\(i\)的结点无右孩子。
-
二叉树的实现方法
C++:
struct BinTree
{
int data,l,r;
};
其中,data表示数据,l指向左孩子,r指向右孩子。