HYSBZ/BZOJ 1010 [HNOI2008] 玩具装箱 - dp&斜率优化

题目描述

分析：

题目一看就是dp题。
dp[i] ：前i个玩具所需的最小cost
sum[i] ：c[i]的前缀和

dp[i]=min{dp[j]+(sum[i]−sum[j−1]+i−j−L)2，1<=j<=i}

复杂度O(n2)，肯定要优化
由于牵扯到sum[j-1]，而不是sum[j]，将方程改写为：

dp[i]=min{dp[j]+(sum[i]−sum[j]+i−(j+1)−L)2}，0<=j<i

为了方便表示，记：
f[i] = sum[i] + i , c=1+L
则：

dp[i]=min{dp[j]+(f[i]−f[j]−c)2}，0<=j<i

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STEP 1：证明较优状态决策点对后续状态的持续影响 (就是说：对于当前状态i，有决策点k优于j，那么必定的，对于i之后的某个状态T，仍有决策点k优于j)

假设对于当前状态i，有决策点k优于j ，j < k
则:

dp[k]+(f[i]−f[k]−c)2<=dp[j]+(f[i]−f[j]−c)2

又因为f(x)是递增的，设 f[T]=f[i]+t
要证：

dp[k]+(f[T]−f[k]−c)2<=dp[j]+(f[T]−f[j]−c)2

要证：

dp[k]+(f[i]+t−f[k]−c)2<=dp[j]+(f[i]+t−f[j]−c)2

要证：

dp[k]+(f[i]−f[k]−c)2+2t(f[i]−f[k]−c)+t2<=dp[j]+(f[i]−f[j]−c)2+2t(f[i]−f[j]−c)+t2

要证：

2t(f[i]−f[k]−c)<=2t(f[i]−f[j]−c)

有结合f(x)的单调递增性，即可证明。

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STEP 2：找斜率方程

由 (此时k优于j)

dp[k]+(f[i]−f[k]−c)2<=dp[j]+(f[i]−f[j]−c)2

推得：

dp[k]+(f[k]+c)2−(dp[j]+(f[j]+c)2)<=2(f[k]−f[j])∗f[i]

记

G(k,j)=dp[k]+(f[k]+c)2−(dp[j]+(f[j]+c)2)

S(k,j)=2(f[k]−f[j])

则：

K(k,j)=G(k,j)S(k,j)<=f[i]

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Solution：

分析了那么久，累死了。
斜率优化用一个队列维护。
维护原则看代码吧，提示：que[]中的pos按大小顺序排。

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#include<cstdio>
#define MAXN 50000
typedef long long LL;

int n,c,L;
LL sum[MAXN+10],f[MAXN+10],dp[MAXN+10],que[MAXN+10];
void read()
{
    int x;
    scanf("%d%d",&n,&L);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&x);
        sum[i]=sum[i-1]+x;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        f[i]=sum[i]+i;
    c=L+1;
}
LL G(int k,int j){
    return (dp[k]+(f[k]+c)*(f[k]+c)) - (dp[j]+(f[j]+c)*(f[j]+c));
}
LL S(int k,int j){
    return 2*(f[k]-f[j]);
}
void DP()
{
    int front=0,rear=1,now;//que[0]=0，以便算出f[1]
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(front<rear-1){
            if(G(que[front+1],que[front])<=S(que[front+1],que[front])*f[i])
                front++;
            else
                break;
        }
        now=que[front];
        dp[i]=dp[now]+(f[i]-f[now]-c)*(f[i]-f[now]-c);
        while(front<rear-1){
            if(G(i,que[rear-1])*S(que[rear-1],que[rear-2])<=G(que[rear-1],que[rear-2])*S(i,que[rear-1]))
                rear--;
            else
                break;
        }
        que[rear++]=i;
    }
}
int main()
{
    read();
    DP();
    printf("%I64d\n",dp[n]);
}