专题——基础递推

汉诺塔问题

Hanoi塔由n个大小不同的圆盘和三根木柱a,b,c组成。开始时，这n个圆盘由大到小依次套在a柱上，如图所示。
要求把a柱上n个圆盘按下述规则移到c柱上：
(1)一次只能移一个圆盘；
(2)圆盘只能在三个柱上存放；
(3)在移动过程中，不允许大盘压小盘。
问将这n个盘子从a柱移动到c柱上，总计需要移动多少次盘子？

• 直接想不好想。先假设移动直径为1~n-1的原盘到C，再移动直径为n的原盘到B上，再将直径为1~n-1的原盘移动到B上。
• f(n)=2*f(n-1)+1

Fibonacci数列

一.兔子繁殖
如果一对兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的一个月成熟，出生后两个月，能开始生一对小兔，之后每月生一对小兔，假定在不发生死亡的情况下，由一对出生的小兔开始，50个月后会有多少对兔子？

• f(n)为第n月的所有兔子数=第n月成熟的兔子+第n月初生的兔子
• 第n月成熟的兔子 = f(n-1) ，因为过一个月就可以成熟
• 第n月初生的兔子 = 第n-1月成熟的兔子 = 第n-2月的兔子总和，即f(n-2)
• f(n)=f(n-1)+f(n-2)

二.完美覆盖
有2×n的一个长方形棋盘,用一些1×2的骨牌铺满方格.例如n=3时,在2×3的棋盘上用1×2的骨片覆盖,共有3种铺法。试对给出的任意一个n(n>0),输出铺法总数.

• 1 .f(n)=第一列一个竖放+前两列两个横放=f(n-1)+f(n-2)
• 2 .规定第i列为第一个竖放的位置，
  
  • n为奇数，f(n)=f(n-1)+f(n-3)+f(n-5)+…+f(0)
  • n为偶数，f(n)=f(n-1)+f(n-3)+f(n-5)+…+f(1) +1（加上没有竖放的情况）

Calatan数 f(n+1)=f(n)*(4*n-6)/n

一.凸多边形的三角形剖分
在一个凸多边形中，通过若干条互不相交的对角线，把这个多边形剖分成了若干个三角形，输入凸多边形的边数n，求不同剖分的方案数C(n)。例如当n=5时，有5种不同的方案.

• 边(1，n)终究会包含在一个三角形中，枚举三角形(1,n,k)，
  f(n)=∑2<=k<=n−1f(k)∗f(n−k+1)
  
  f(2)是一条线段

危险的组合

在一个长度为n的字符串中，只包含L和U，如果3个U连续出现就非法，求给定长度n的非法串的数量。

• 非法=总共-合法
• 从第i个位置开始有三个连续的U，强制规定i-1不能放U，[1,i-2]是不能出现3个连续U的方案数=[1,i-2]总共的-[1,i-2]合法的。

第二类Stirling数

n个有区别的球放到m个相同的盒子中，要求无一空盒，其不同的方案数用S(n,m)表示，称为第二类Stirling数。

• 对于球i，要么单独放一个盒子，要么等其他的球放完了之后，随便找个位置和其他球一起放。
• f(n,m)=f(n-1,m-1)+f(n-1,m)*m

极值问题

已知m、n为整数，且满足下列两个条件：
1<= m, n <= k
(n^2−mn−m^2)2=1
输入正整数k ，（1<=k<=10^9），求一组满足上述两个条件的m，n ，并且使m2+n2的值最大。

• （n^2-mn-m^2）^2=（m^2+nm-n^2）^2
  =[(n+m)^2-n(n+m)-n^2]^2
  其中：n’=m+n,m’=n。
• 可知，(1,1)一定满足方程，向后递推，直到最大就可以了。