组合数

这几天的竞赛期末考试中遇到了组合数的题目，就是 NOIP2016 组合数问题 原题，正好现在数学学到了一点点排列组合，就来整理一下吧。

组合数

就是从 \(n\) 个不同元素中，抽取 \(m\) 个元素的方案数。

组合数公式为：

\[\dbinom{n}{m}= \dfrac{n!}{m! \times (n-m)!} \]

通过杨辉三角可得到递推公式：

\(\dbinom{i}{j} = \dbinom{i-1}{j-1} + \dbinom{i-1}{j}\)

还有一个递推公式（可证明）：

\[\dbinom{i}{j} = \dfrac{n-k+1}{k} \times \dbinom{i}{j-1} \]

但是这个可能会乘法溢出

证明

证明完毕

题目思路

• 暴力

  暴力，暴力，暴力！

• 预处理

  用第一个递推公式先递推出来所有的数，然后对于每一次查询进行判断是否 % k == 0，时间复杂度为 \(\mathcal{O}(q+tn^2)\)，还是有点慢

• 预处理优化

  我们可以想到每一判断都 % k 有点慢所以可以在预处理时 % k，判断是否等于 0 ，开过 \(O2\) 95 pts，还需要优化。

• 前缀和+预处理

  我们可以二维前缀和等于 0 的个数，然后每一次查询即可，时间复杂度变成了 \(\mathcal{O}(q+t)\) ,可以过了。

  #include<cstdio>
  #include<iostream>
  
  using namespace std;
  const int p = 1000;
  int c[2010][2010] = {0};
  int f[2010][2010] = {0};
  int n,m,k,t;
  
  void complet(){
  	c[0][0] = 1;
  	c[1][0] = 1;
  	c[1][1] = 1; 
  	for(int i=0;i<=2000;i++){
  		c[i][0] = 1;
  		c[i][i] = 1;
  		for(int j=1;j<i;j++){
  			c[i][j] = (c[i-1][j-1] + c[i-1][j]) % k;
  		}
  	}
  	for (int i=1;i<2000;i++){
          for (int j=1;j<=i;j++){
          	f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1] - f[i-1][j-1];		\\ 前缀和
          	if(c[i][j] == 0)	f[i][j] ++;
          }
          f[i][i+1] = f[i][i];
      }
  }
  
  int main()
  {
  	int cnt = 0;
  	cin>>t>>k;
  	complet();
  	while(t--){
  		cnt = 0;
  		scanf("%d %d",&n,&m);
  		if(m > n)
  			m = n;
  		printf("%d\n",f[n][m]);
  	}
  	return 0;
  }