过河卒

过河卒

本题链接：p1002 过河卒

题目描述

棋盘上 $ A $ 点有一个过河卒，需要走到目标$ B $点。卒行走的规则：可以向下、或者向右。同时在棋盘上 $ C $ 点有一个对方的马，该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点。因此称之为“马拦过河卒”。

棋盘用坐标表示，$ A $ 点 $ (0,0) $ 、$ B $ 点 $ (n,m) $ ，同样马的位置坐标是需要给出的。

现在要求你计算出卒从 $ A $ 点能够到达 $ B $ 点的路径的条数，假设马的位置是固定不动的，并不是卒走一步马走一步。

输入格式

一行四个正整数，分别表示 $ B $ 点坐标和马的坐标。

输出格式

一个整数，表示所有的路径条数。

说明/提示

对于100%的数据, $ 1≤n,m≤20 $ ，$ 0≤ $ 马的坐标 $ ≤20 $。

求解

我看到这题时，我就想到用递推来做这题

1. 根据题意并根据样例，第一步可以写出下列 （简单的） 表格：

	[0]	[1]	[2]	[3]	[4]	[5]	[6]
[0]	0	1	1	1	1	1	1
[1]	1	2	3	4	5	6	7
[2]	1	3	6	10	15	21	28
[3]	1	4	10	20	35	56	84
[4]	1	5	15	35	70	135	219
[5]	1	6	21	56	126	261	370
[6]	1	7	28	84	210	471	841

（显而易见），这里可以利用加法原理，写出递推式：

\[f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1];(start:f[0][0]=1) \]

2. 第二步再加上马的影响

	[0]	[1]	[2]	[3]	[4]	[5]	[6]
[0]	1	1	1	1	1	1	1
[1]	1	2	0	1	0	1	2
[2]	1	0	0	1	1	0	2
[3]	1	1	1	0	1	1	3
[4]	1	0	1	1	2	0	3
[5]	1	1	0	1	0	0	3
[6]	1	2	2	3	3	3	6

根据这个表格，我们可以想到先把马的控制点，也就是马能到达的地方（包括他本身的这个点，做一个预处理，之后递推的时候，如果到达马的控制点，直接跳过，继续下一个点。

基本思路就是这样，但是在测评中发现了第三个点：只有long long类型才能AC。

代码如下：

#include <iostream>   
#include <cstdio>
using namespace std;
int n,m,x,y;
long long map[42][42]={{1}};  \\递推开始式为f[0][0] = 1;
bool horse[42][42];
int hx[9]={0,1,1,2,2,-1,-1,-2,-2},  \\马的位移
	hy[9]={0,2,-2,1,-1,2,-2,1,-1};
int main ()
	{
		cin>>n>>m>>x>>y;
		for (int i=0;i<=8;i++)
			{
				int xx=x+hx[i],yy=y+hy[i];
				if (xx>n||xx<0||yy>m||yy<0)
					continue;
				horse[xx][yy]=1;
			}
		int l=0,k=0;
		while (!horse[0][++k]&&k<=m)
			map[0][k]=1;
		while (!horse[++l][0]&&l<=n)
			map[l][0]=1;
		for (int i=1;i<=n;i++)
			for (int j=1;j<=m;j++)
				if (!horse[i][j])
					map[i][j]=map[i-1][j]+map[i][j-1];   \\递推式
		cout<<map[n][m]<<endl;
		return 0;
	}